Satellite

[inviteae5d268c]

Bonsoir !
Je m'attaque à mon DM de physique mais pour le moment, c'est plutôt lui qui a le dessus...

"On s'intéresse à l'énergie nécessaire pour qu'un satellite de masse m_S=1 tonne se libère du champ gravitationnel terrestre. La masse de la Terre est m_T=6.10²⁴ kg, le rayon de la Terre est R_T=6400 km et la constante d'interaction gravitationnelle G=6,7.10^-11 SI.
On néglige dans cette exercice la rotation de la Terre sur elle-même. Par ailleurs, on lance le satellite verticalement de telle sorte que le mouvement se déroule le long d'une droite passant par le centre de la Terre."

1. Rappelez l'expression de la force d'interaction gravitationnelle entre la Terre et le satellite.

F_S/T= G(m_S*m_T/r²)

2. Quelles sont les dimensions de G?

[G]=M^-1L³T^-2

3. Calculez l'interaction gravitationnelle g à la surface de la Terre. Comment ce résultat se compare avec la valeur bien connue de g?

g=G*m_T/r_T²=9,81 m.s^-2

4. Calculez l'énergie potentielle gravitationnelle du satellite. On choisit l'origine des énergies potentielles à la surface de la Terre.

Voilà, je bloque.
Je sais que Ep=-G(m_S*m_T/r)

mais je ne comprends pas comment je peux connaitre r (la distance entre le satellite et la terre)

je ne comprends pas non plus ce que veut dire "l'origine des énergies potentielles"... avec la formule E_p=mg(z-z₀), je suppose que z₀ correspond à l'origine mais dans ma formule, je ne vois pas à quoi cela pourrait correspondre


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[invite2b14cd41]

Bonsoir !
Je m'attaque à mon DM de physique mais pour le moment, c'est plutôt lui qui a le dessus...

"On s'intéresse à l'énergie nécessaire pour qu'un satellite de masse m_S=1 tonne se libère du champ gravitationnel terrestre. La masse de la Terre est m_T=6.10²⁴ kg, le rayon de la Terre est R_T=6400 km et la constante d'interaction gravitationnelle G=6,7.10^-11 SI.
On néglige dans cette exercice la rotation de la Terre sur elle-même. Par ailleurs, on lance le satellite verticalement de telle sorte que le mouvement se déroule le long d'une droite passant par le centre de la Terre."

1. Rappelez l'expression de la force d'interaction gravitationnelle entre la Terre et le satellite.

F_S/T= G(m_S*m_T/r²)

2. Quelles sont les dimensions de G?

[G]=M^-1L³T^-2

3. Calculez l'interaction gravitationnelle g à la surface de la Terre. Comment ce résultat se compare avec la valeur bien connue de g?

g=G*m_T/r_T²=9,81 m.s^-2

4. Calculez l'énergie potentielle gravitationnelle du satellite. On choisit l'origine des énergies potentielles à la surface de la Terre.

Voilà, je bloque.
Je sais que Ep=-G(m_S*m_T/r)

mais je ne comprends pas comment je peux connaitre r (la distance entre le satellite et la terre)

je ne comprends pas non plus ce que veut dire "l'origine des énergies potentielles"... avec la formule E_p=mg(z-z₀), je suppose que z₀ correspond à l'origine mais dans ma formule, je ne vois pas à quoi cela pourrait correspondre

Au voisinage de la Terre Epp=mg_oh avec g_o=9.81 m.s^-2
Lorsque la masse m est en un point éloigné, on adopte une autre approche.
Soit F(T/c) la force gravitationelle de la part de la Terre sur le corps de masse m. F(T/c)=GM_Tm/r²
On suppose que le corps c subit un déplacement élémentaire dr.
Le travail élémentaire de F(T/c): deltamin(W)=F(T/c).dr (F et dr sont des vecteurs) donc le travail élémentaire dW= - F.dr (le corps s'éloigne de la Terre).
Si on veut entraîner un déplacement très important de r vers +INF:
W(Ft/c)=intégrale de r à +INF (F_t/c.dr)
W(Ft/c)= GM_Tm * intégrale de r à +INF (-1/r²)
W(Ft/c)=-GMm/r
Or , la variation d'énergie potentielle est égale à l'opposé du travail des forces intérieures : Delta Epp = -W(Ft/c)= Epp(+inf) - Epp(r)
Or , quand r tend vers +INF, Epp=-GMm/r tend vers 0
Epp(r)=-GMm/r
Mais dans cette formule, l'infini est pris comme origine des énergies potentielle (car Epp(+INF)=0 )
Comme on choisit l'origine de Epp à la surface de la Terre, on doit avoir Epp(R_T)=0
Alors , en posant r=R_T+h , on obtient :
Epp(R_T+h)=Epp(R_T)+Epp(h)
Epp(h)=Epp(Rt+h)-Epp(Rt)
Epp(h)=-GMm(1/(Rt+h)-1/Rt)

[invite2b14cd41]

Voici la suite de l'exercice, afin de trouver la vitesse initiale vo pour libérer le satellite du champ de pesanteur terrestre (v_o étant la vitesse minimale de libération, le satellite décrira tout uste une parabole...)
L'énergie mécanique du système (Terre+satellite) est conservée si l'on considère le système isolé.
A la hauteur h, elle sécrit: Em(h)=Ec+Ep=1/2mv²-GMm(1/(Rt+h)-1/Rt)
A la surface de la terre, lorsque le satellite est lancé à la vitesse v_o :
Em(h0)=Ec=1/2mv²_o
Donc Em(h0)=Em(h)
1/2mv²_o=1/2mv²-GMm(1/(Rt+h)-1/Rt)
Comme h tend vers l'infini (le satellite étant libéré de l'attraction terrestre):
1/2mv²_o=1/2mv²-GMm(-1/Rt)
v²_o=v²+2GM/Rt
La vitesse à l'infinie s'écrit donc:
v=

Pour que cette vitesse puisse exister, l'expression sous le radical doit être positive:
v²_o-2GM/Rt > 0
v_o >
La vitesse minimale de libération est donc
v_o =

[inviteae5d268c]

waouh ! merci pour ces réponses !! J'ai pu finir mon DM

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteae5d268c]

héhé... me revoila... hé non, ce n'est pas fini... Je me suis emballée...

5. On néglige les forces de frottement (avec l'air de l'atmosphère). Que peut-on dire de l'énergie mécanique ? Exprimez la distance du satellite au centre de la Terre en fonction de sa vitesse et de la vitesse initiale v0.

En partant du principe que l'E_m est conservée, j'arrive à R_T+h=-2R_TGm_T/R_Tv₀²-R_Tv²-2Gm_T
... je ne suis pas très sûre... je trouve que ce résultat est assez indigeste...

6. Il existe une vitesse v_l, appelée vitesse de libération telle que, si l'on lance le satellite avec une vitesse v₀<v_l, le satellite retombe sur Terre et si v₀>v_l, le satellite se libère du champ gravitationnel de la Terre. On se place dans le cas où v₀<v_l. Que vaut v quand le satellite est le plus loin du centre de la terre ? De quelle distance maximale s'éloigne le satellite du centre de la Terre ?

v(h_max)=0 (c'est une sorte de parabole)

h_max=(-2R_TGm_T/R_Tv₀²-2Gm_T)-R_T
mais c'est en supposant que ma première estimation de h était bonne

7. Tracez cette distance en fonction de la vitesse initiale. Déterminez l'expression de la vitesse de libération et donner sa valeur numérique

à v₀, h=0

j'arrive à v₀²= (-2Gm_T/R_T)+2Gm_T

est-ce que ça vous pourrait plausible ?

8. Quelle énergie cinétique faut-il fournir au satellite à son départ pour qu'il se libère du champ gravitationnel terrestre ?

grâce à pol92joueur, je peux trouver la réponse ! merci !

voila, je me rends compte que j'ai plus de réponse que ce que je pensais mais je ne suis pas très sûre, je préfère avoir confirmation !

Merci