nombre quantique "l" - incertitude

[invitee71724f2]

Bonjour à tous,

Dans mon cours, il est noté, concernant un électron :

- le nombre quantique l varie de 0 à n-1
- la norme du moment cinétique L vaut sqrt(l(l+1))*h/2pi
- deux composantes de L ne commutent pas entre elles, par exemple [Lx, Ly] n'est pas égal à 0.

Mais il me semble qu'il y a un problème car si on a l=0, alors L=0 et donc ça implique que Lx=Ly=Lz=0, donc que nous pouvons connaître les trois composantes de L simultanément, ce qui est contraire aux postulats qui disent qu'il faut que ces trois observables commutent pour qu'on puisse faire cela. Ou est le problème?

Je vous remercie d'avance pour vos réponse,

Flavien
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[invite8915d466]

Bonjour

si tu prends deux observables A et B qui ne commutent pas, AB-BA = C ≠0. Il en résulte que si on a un vecteur propre |psi> qui soit vecteur propre de A et de B, on doit avoir C|psi> = 0. Ce qui n'est pas interdit, mais ne peut pas etre vrai pour une base complète, sinon on aurait C =0. Ce qui est interdit , c'est donc de diagonaliser completement A et B dans la meme base, mais ce n'est pas interdit d'avoir quelques vecteurs propres communs ... mais ça implique qu'ils appartiennent au noyau du commutateur. Ce qui est le cas ici (Lz = 0 aussi ).

Cdt

gilles

[invite134d33f4]

Bonjour,

Ce que gillesh38 essaye de te dire Flastick c'est que tu as pris un cas très particulier, celui pour lequel le module de ton moment cinétique est nul. Mais, pour que le commutateur soit nul (et donc que A et B commutent) il faut trouver une base commune qui diagonalise à la fois A et B. Or dans ce cas tu a trouvé un vecteur particulier et non une base complète.

[invitee71724f2]

ah ok! donc L=0 implique qu'on connaît toutes les compostantes du vecteur mais que c'est permis dans ce cas particulier ?
Dans mon cours on a pas tellement traité des bases complètes, etc, voilà pourquoi je ne comprends pas très bien.

Merci pour vos réponses,

Flavien

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedbd9bdc3]

Une base complete, c'est une base de ton espace de hilbert qui le decrit entierement. (Par exemple, dans le cas du plan, un seul vecteur n'est pas une base complete,mais deux vecteurs non colineaire en sont une.)

Ensuite, si tu connais un ECOC (ensemble complet d'observable qui commutent) qui decrit bien ton probleme (par exemple H, L et Lz dans le cas de l'atome d'hydrogene sans spin) tu sais que tu peux decrire ton espace de hilbert par les vecteurs d'une base complete et chaque vecteur de cette base peut etre indicé par les valeurs propres de ton ECOC.

Un exemple :
si tu ne possedes que l'operateur H de ton atome d'hydrogene, tu ne peux pas representer un etat particulier juste avec son nombre quantique principale (n), car pour un n donné, il peut y avoir plusieurs états distincts (pour n=2, il y en a 4). Par contre, si tu connais le spectre de H, L et Lz, tu peux etiquetter tous les états de base avec les valeurs propres de ces trois operateurs (il y a l'etat |1,0,0>, l'etat |2,0,0>, etc).

Pour revenir au sujet du probleme, le fait que Lx et Lz ne commute pas signifie que tu ne peux pas etiquetter un etat par les valeurs propres de Lx ET Lz, mais il te faut en choisir un des deux.
Il se trouve pour l=1, l'etat m=0 est un vecteur propre de Lx et Ly, mais tu verifieras facilement que ce n'est pas le cas pour les deux autres états.