Mécanique des milieux continus

[invite40b727da]

Salut,

J'ai cet exercice à résoudre mais je suis bloqué,
On considère l'état de déformation définit par Epsilon(ij)=2.10^-3
Quelles sont les valeurs principales et les directions principales?
Quelles sont les valeurs de la déformation volumique et de gamma (max)? De quel état de déformation s'agit t'il?

Voilà je ne sais pas si le tenseur de la déformation est de forme 2 2 ou 3 3 , je ne vois pas sous quelle forme je dois le mettre..
Pourriez vous m'aider???
Je vous remercie d'avance pour votre aide !
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[DarK MaLaK]

Salut, i et j doivent varier de 1 à 3, par conséquent le tenseur des déformations est un tenseur de rang 2 qui a 9 composantes : c'est une matrice 3x3 qui le représente. Il n'existe pas à ma connaissance de tenseur qui se représenterait par une matrice 2x2, dans un espace à trois dimensions. En fait, je pense qu'on peut voir les tenseurs de rang n comme des matrices à n dimensions (scalaire pour le rang 0, vecteur pour le rang 1, matrice "classique" pour le rang 2, matrice en 3 dimensions pour le rang 3, et ensuite ça commence à devenir compliqué à se représenter de manière intuitive). Dans un espace de dimension 3, le nombre de composantes du tenseur sera donc de .

Si l'état de déformation que tu décris est valable quelles que soient les valeurs de i et de j, la matrice représentative du tenseur des déformations sera une matrice 3x3 ne contenant que des 1, et multipliée par 2.10^-3. Donc pour trouver les valeurs principales et les directions principales, tu peux par exemple diagonaliser la matrice : les valeurs principales correspondent aux valeurs propres et les directions principales aux vecteurs propres associés.

[invite40b727da]

Merci de votre réponse ça m'éclaire un peu mieux,
Je me retrouve avec un tenseur de ce type 2.10^-3 2.10^-3 2.10^-3
2.10^-3 2.10^-3 2.10^-3
2.10^-3 2.10^-3 2.10^-3 ????
Je lui applique alors det( epsilon(ij) - lambda (delta(ij)))=0 afin de trouver les valeurs propres et ( epsilon(ij)-epsilon(i)*I)*n=0 pour les directions principales?

[invitedc31994f]

Les valeur propres sont 3 et 0, 0 étant valeur propre double.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite40b727da]

Merci, j'ai donc trouvé les bons résultats!