probleme de dynamique en PCSI.

[invitedee7f084]

bonsoir,

j'ai un petit probleme avec un exo de mecanique, et je ne suis pas sur d'avoir la bonne reponse. on peut le resoudre grace aux energies, Em = Ec + Ep, et le theoreme de l'energie cinetique, mais je cherche a le faire grace au principe fondamental de dynamique.

on considere une bille assimilé a un point, qui se deplace sans frottements, ni fluide ni solide.

la premiere portion du mouvement est une ligne droite, puis la bille passe dans un demi-cercle en partant du bas, donc une sorte de demi looping.
elle atteint le point de la base du looping avec une vitesse Vo.
le rayon est R et la masse M.
on veut determiner jusqu'a quel angle la bille va pouvoir aller avant de se décoller du looping et de retomber.

on exprime donc l'acceleration en coordonnées cylindrique (ou plutot polaire car z=0)
puis le poids en projections sur Ur et U(theta), et la reaction du support (selon Ur)

ensuite, on utilise le principe fondamental de dynamique en projection sur Ur et U(theta), et en remplacant (theta point(dérivé une fois) ) d'une equation dans l'autre, puis en admetant que la reaction du support est nulle (puisque la bille retombe du looping), je trouve:

cos(theta) = 2/3 - Vo^2/(3*g*R)

je ne suis pas trop sur du resultat, mais cela signifie que theta va etre l'angle maximal que va parcourir la bille avant de retomber?

et que signifirait ce resultat dans le cas ou theta < 90°?
vu que pour trouver cette equation on suppose qu'a un moment la bille decole, et donc que la reaction du support est nulle, et donc que theta est forcement supperieur a 90°, mais si on trouve theta < 90°, la reaction du support n'est pas nulle... ?.?.?.?

merci de m'eclairer sur le sujet, et si vous ne comprenez pas l'enoncer, j'esserait de faire un joli dessin.
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[invite15928b85]

Bonjour.

Je viens de faire le calcul, je tombe sur la même expression que la vôtre.

Vue l'heure avancée, je n'en suis pas sûr non plus. Vérification et discussion attendront un peu.

@+

[invite15928b85]

Re.

Calcul précédent confirmé.

Si est la valeur de pour la quelle la réaction s'annule et la valeur pour la quelle la vitesse s'annule (la bille s'arrête et rebrousse chemin), on a .

Tant que , la bille s'arrête et fait demi-tour avant que la réaction s'annule. Au delà, c'est l'inverse : la réaction peut s'annuler alors que la bille a encore de la vitesse.

Cordialement.

[invitedee7f084]

merci,
j'aurais juste besoin de quelques precisions sur l'interpretation du resultat.

on a donc:
cos(theta) = 2/3 - Vo^2/(3*g*R)

Vo^2/(3*g*R) >= 0

donc si: 2/3 > Vo^2/(3*g*R) > 0
alors theta < 90° donc la bille ne s'arrache jamais du support.
ce qui me tracasse, c'est si Vo = 0, on a cos(theta) = 2/3; et donc la bille parcour quand meme un arc de cercle sans vitesse????

ensuite si Vo^2/(3*g*R) > 2/3, alors la la bille va retomber a l'angle theta.
et si cos(theta) > 1, cela voudrait dire que la bille fait plusieurs fois le tour du looping?

merci pour les éclaircissement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite15928b85]

Re. et faim.

Si la vitesse initiale est nulle, le problème change de nature. Au cours de vos calculs, vous avez sûrement été amené à simplifier une équation dans la quelle la vitesse angulaire apparaissait des deux côtés. Si cette vitesse est constamment nulle, cette simplification n'est plus possible et l'équation finale n'est plus valide. Il n'y donc pas lieu de se poser de question à son sujet.

Il est bien évident que pour une vitesse initiale suffisante, la réaction du support peut ne jamais s'annuler. C'est ce que traduit le cas où cos theta > 1. Si le rail est un cercle complet, la bille tourne indéfiniment.

Bon appétit.