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Intégration



  1. #1
    EspritTordu

    Intégration

    Bonjour,


    Voici l'équation de la force centrifuge F=mrw^2 où m est la masse de l'élément mobile tournant en kg, r la distance radiale de celui-ci par rapport au centre de rotation de la masse et w la vitesse angulaire en rad/s.

    Peut-on intégrer cette équation afin d'obtenir une équation horaire ne dépendant que d'une variable temporelle?

    Merci d'avance.

    -----


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  3. #2
    deep_turtle

    Re : Intégration

    Si la force centrifuge est la seule force du problème, ça veut dire qu'en se plaçant dans un repère qui ne tourne pas, il n'y a pas de force et la trajectoire est une droite.

    Si tu veux t'en convaincre et retrouver l'équation d'une droite en coordonnées polaires, il faut écrire la RFD en coordonnées polaires, ce qui à vue de nez devrait se faire sans trop de problème. Je le dis d'autant plus facilement que je n'ai même pas essayé...

  4. #3
    EspritTordu

    Re : Intégration

    Je comprends pas très bien : le seul moyen pour que la trajectoire de l'élément mobile soit une ligne droite, c'est de se placer dans le repère mobile tournant, non? Si je vois bien la scène, il n'y a pas de trajectoire dans le référentiel de l'élément mobile, et la tajectoire de l'élément mobile qu'on peut attendre dans un référentiel fixe par rapport à un repère fixe au centre de rotation, c'est une courbe orientée dans le sens de rotation de l'ensemble...

    A vrai dire si on intégre une fois l'équation de la force de façon à avoir l'équation de la vitesse radiale de l'élément mobile, je me retrouve avec une variable vitesse (dx/dt) et une variable x de position ; je me retrouve avec une équation de vitesse dépendante du temps et de la position actuelle...

  5. #4
    EspritTordu

    Re : Intégration

    Connaitriez-vous un lien pour me guider car j'y perd mon latin... comment répondre à la question : combien de temps faut-il pour que l'élément mobile partant d'une distance d1 définie depuis le centre de rotation, atteigne une distance d2?

  6. #5
    Jeanpaul

    Re : Intégration

    Est-ce que le mobile est libre sur le plateau (bille posée) ou bien est-il assujetti à se déplacer sur un rayon ? Ca change tout.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    EspritTordu

    Re : Intégration

    Oui, l'élément mobile n'a qu'un seul degré de liberté, un déplacement radial.

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  10. #7
    Odie

    Re : Intégration

    Salut,

    En appelant R = le repère mobile lié au point M, l'accélération de M dans R vérifie :



    avec (accélération d'entraînement) et vitesse de M dans R

    désigne la résultante des autres forces s'exerçant sur M : le poids et la réaction du support. est orientée suivant .

    En projetant sur , on obtient :
    Cette équa diff se résout en .

    Pour avoir le temps t recherché, il faut ensuite résoudre
    Dernière modification par Odie ; 06/10/2005 à 14h15.

  11. #8
    EspritTordu

    Re : Intégration

    Merci Odie et Jeanpaul : je vais potasser ça.
    Une chose m'intrigue néanmoins :comment viens le cosinus hyperbolique? Les équations différentielles ça m'est un peu étranger... (si ce n'est le nom!sf) Si ce n'est pas trop demander, peut-on détailler le calcul de r''=w2*r à r(t)=d1cosh(wt)...

    Juste une confirmation, la force de Coriolis 2mw×vr est portée par l'ordonnée du repère de M? Cela signifie donc que l'élément mobile participe à la mise en rotation ou du moins à son entretien, non?

  12. #9
    Odie

    Re : Intégration

    Citation Envoyé par EspritTordu
    peut-on détailler le calcul de r''=w2*r à r(t)=d1cosh(wt)...
    Oui, on peut...

    est donc une équa diff du second ordre à coefficients constants, la solution générale est où {a,b} solutions de l'équation caractéristique correspondante : , donc et .

    Avec les conditions initiales r(0) = d1 et r'(0) = 0, on obtient :



    donc

    Conclusion :

    Pour isoler t, il faut juste connaître l'expression de la réciproque de cosh : (définie sur [1 , +inf [)


    Pour la force de Coriolis, elle est orientée suivant , c'est-à-dire perpendiculaire au rayon et dans le plan du mouvement.
    Dernière modification par Odie ; 07/10/2005 à 15h12.

  13. #10
    EspritTordu

    Re : Intégration

    Qu'en est-il si la vitesse initiale n'est pas nulle? Comment trouve-ton la solution pour avoir l'équation de la vitesse en fonction du temps s'il vous plait?

  14. #11
    Odie

    Re : Intégration

    Si la vitesse initiale est v0, on a un autre système à résoudre pour trouver les constantes :




    ... et donc r(t) aura une autre forme.

    Comment trouve-ton la solution pour avoir l'équation de la vitesse en fonction du temps s'il vous plait?
    Que veux-tu dire exactement?

    On trouve facilement la vitesse en dérivant la position : v(t) = dr/dt

  15. #12
    EspritTordu

    Re : Intégration

    Voila mon point de vue : si on observe le système depuis le repos vers le déplacement des éléments mobiles, la vitesse v0 peut être considérée nulle. Mais si on attend un peu avant de pencher notre nez sur le système, les éléments mobiles seront déjà en mouvement et auront acquis une vitesse initiale v0. Ne peut-on pas mathématiquement obtenir l'équation r'(t) sans passer par r(t) pour dérivée celle-ci plus tard?

    Si je comprends bien l'équation différentielle (corriger moi si cela est faux ), alors si on considère v0 cela ne change que mu et Lamba.

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