mouvement d'une pierre lachée dans un puit qui traverserait la Terre de part en part.

[invite875dbe9e]

Expérience de pensée : Quel serait le mouvement d'une pierre lachée dans un puit qui traverserait la terre de part en part?

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[Galuel]

En première approximation déjà, au centre la gravité est nulle. Au démarrage c'est la force normale à la surface.

Ensuite au fur et à mesure qu'elle descend, la force centrale diminue, elle n'est donc pas "uniformément accélérée".

Ensuite par une simple constatation de symétrie elle est décélérée passé le centre pour arriver à une vitesse nulle exactement de l'autre côté, à la surface (pour une terre parfaitement ronde, de densité parfaitement uniforme, et donc sans aucune déformation de la gravité).

Pour le calcul exact il faut calculer l'accélération en tenant compte de la masse de la pierre constante. Mais aussi donc de la masse "devant la pierre" quand elle va vers le centre, diminuée de l'accélération dûe à la masse "derrière la pierre" au fur et à mesure de son avancement.

Une fois que cette fonction est connue, il n'y a plus qu'à appliquer le calcul mathématique intégral qui va bien.

[invite3bc71fae]

Tu as oublié de dire que le puits est parfaitement vide, sinon il y a amortissement...

[Galuel]

Et je crois me souvenir qu'il y a encore plus simple pour le calcul en se servant d'une notion plus avancée de divergence je crois, la même utilisée par les équations de Maxwell il me semble, qui sert à calculer la propagation de particules chargées dans un champ électro magnétique.

Ca marche exactement pareil que pour la gravité... A confirmer par un esprit qui a ces notions fraîchement ancrées dans son esprit, pour moi c'est un peu caché dans un coffre au grenier, et j'ai pas franchement de désir particulier pour retrouver les détails de ce vieux machin !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Galuel]

Je me rappelle oui il faut définir un flux, et la divergence gravitationnelle en chaque point de l'intérieur de la terre. Et ensuite ça se calcule assez facilement. Mais pas compter sur moi pour retrouver le calcul exact !

[invite875dbe9e]

Donc la pierre va osciller dans le puit?

[invite765732342432]

Donc la pierre va osciller dans le puit?

Oui...

Par contre, j'aurais une petite question: si l'on prend en compte la rotation de la Terre, la pierre ne va-t-elle pas percuter les parois du puits ?

Est-ce que je dis une grosse bétise ?

[invite03f54461]

Par contre, j'aurais une petite question: si l'on prend en compte la rotation de la Terre, la pierre ne va-t-elle pas percuter les parois du puits ?

Dans l'axe polaire, pas de problème, dans l'axe équatorial, ya courbure de la trajectoire

[invite875dbe9e]

Oui...

Par contre, j'aurais une petite question: si l'on prend en compte la rotation de la Terre, la pierre ne va-t-elle pas percuter les parois du puits ?

Est-ce que je dis une grosse bétise ?

D'après le principe d'inertie - La pierre garde la même vitesse tangentielle qu'elle a à la surface de la Terre...
Elle ne suit donc pas la tunnel? Elle devrait surement percuter la paroie...??

[invite03f54461]

D'après le principe d'inertie - La pierre garde la même vitesse tangentielle qu'elle a à la surface de la Terre...
Elle ne suit donc pas la tunnel? Elle devrait surement percuter la paroie...??

Si l'axe du tunnel est équatorial, et qu'il y a rotation de la Terre :
la rotation de la pierre va s'accélérer
http://www.mhhe.com/physsci/physical...a/cam/cam.html

[zoup1]

Et je crois me souvenir qu'il y a encore plus simple pour le calcul en se servant d'une notion plus avancée de divergence je crois, la même utilisée par les équations de Maxwell il me semble, qui sert à calculer la propagation de particules chargées dans un champ électro magnétique.

Ca marche exactement pareil que pour la gravité... A confirmer par un esprit qui a ces notions fraîchement ancrées dans son esprit, pour moi c'est un peu caché dans un coffre au grenier, et j'ai pas franchement de désir particulier pour retrouver les détails de ce vieux machin !

Effectivement, c'est une application du théorème de Gauss, les forces de gravitation comme le champ électrique (ou la force éelctrostatique) est en 1/r^2 donc ce qui marche pour l'un marche pour l'autre.

Ce que l'on peut en retenir dans le cas qui nous interesse ici, c'est que (pour un problème avec une symétrie sphérique), la champ d'attraction gravitationnel à une distance r du centre de symétrie (le centre de la Terre) est donnée par l'attraction gravitationnelle créé par la masse contenu dans une sphère de rayon r centré autour du centre de symétrie (La masse en dehors de cette sphère n'intervient pas).
Il arrive donc que si on suppose que la masse est uniformément répartie dans le volume de la terre, l'attraction gravitationnelle augmente proportionnellement à r tant que l'on se situe à l'intérieur de la terre. Pour l'extérieur par contre l'attraction gravitationnelle diminue proportionnellement à 1/r^2.

La conclusion à tout cela est effectivement que la masse va osciller dans le tunnel. Un résultat amusant est que la période d'oscillation est la même que pour une masse qui serait en orbite autour de la Terre juste à la surface de la Terre (Si on suppose bien sur qu'il n'y a pas de frottement...)

[zoup1]

Si l'axe du tunnel est équatorial, et qu'il y a rotation de la Terre :
la rotation de la pierre va s'accélérer
http://www.mhhe.com/physsci/physical...a/cam/cam.html

En ce qui concerne les effets de la rotation du tube dans le cas ou le tube est équatorial,
- La force centrifuge est elle aussi proportionnelle à r, comme la force d'attraction gravitationnelle. L'effet de la rotation vient donc simplement s'ajouter à l'effet gravitationnel (en fait se soustraire), mais cet effet reste toujours plus petit que les effets purement gravitationnels. Si ce n'était pas le cas, la Terre perdrait sa cohésion.
- Pour la composante de Coriolis, elle est perpendiculaire à la vitesse de la masse, donc perpendiculaire au tunnel. Elle va donc effectivement avoir tendance à plaquer la masse contre les parois du tunnel. Cependant dans ce genre de problèmes on suppose généralement que les frottement avec les parois du tunnel sont nuls.

[invite03f54461]

Un résultat amusant est que la période d'oscillation est la même que pour une masse qui serait en orbite autour de la Terre juste à la surface de la Terre (Si on suppose bien sur qu'il n'y a pas de frottement...)

Marrant, dans le cas du tunnel à axe polaire, j'avais déduit la même chose en considérant que l'objet qui tombe décrirait une ellipse à 0° (en langage dessin technique).

[zoup1]

Marrant, dans le cas du tunnel à axe polaire, j'avais déduit la même chose en considérant que l'objet qui tombe décrirait une ellipse à 0° (en langage dessin technique).

C'est sans doute la meilleur facon de voir les choses...

[invité576543]

C'est sans doute la meilleur facon de voir les choses...

Bonjour,

Un raisonnement faux qui aboutit à cela est de penser que l'objet est sur une orbite képlérienne, auquel cas la période de rotation ne dépend que du grand axe, qui est clairement dans ce cas le diamètre de la Terre. Mais l'orbite n'est pas képlérienne, car la force radiale est en 1/r, alors que pour les lois de Képler, la force radiale est en 1/r². Ensuite, les lois de Képler correspondent à l'absence de toute force tangentielle, or dans le cas équatorial il existe nécessairement une force tangentielle, celle qui annulle la force de Coriolis.

La raison pour que la période soit la même doit être cherchée dans les maths, et n'a rien d'évident... Le cas polaire est différent du cas équatorial...

Dans le cas équatorial, il existe une solution sans force tangentielle, en prenant un tunnel une forme en S (point d'inflexion au centre de la Terre), de forme adaptée à la force de Coriolis, en fait à la rotation de la Terre (la tangente au centre coupe la surface de la Terre à une différence de longitude avec le départ du tunnel égale à l'angle de rotation de la Terre pendant le temps de parcours entre le départ et le centre...). Le calcul de la période est encore différent...

Cordialement,

[zoup1]

Un raisonnement faux qui aboutit à cela est de penser que l'objet est sur une orbite képlérienne, auquel cas la période de rotation ne dépend que du grand axe, qui est clairement dans ce cas le diamètre de la Terre. Mais l'orbite n'est pas képlérienne, car la force radiale est en 1/r, alors que pour les lois de Képler, la force radiale est en 1/r². Ensuite, les lois de Képler correspondent à l'absence de toute force tangentielle, or dans le cas équatorial il existe nécessairement une force tangentielle, celle qui annulle la force de Coriolis.

Certes, sauf que la force la force radiale est ici en r et non pas en 1/r ou en 1/r², et que les forces tangentielles n'interviennent pas si on suppose le tunnel infiniment fin et sans frottement.

La raison pour que la période soit la même doit être cherchée dans les maths, et n'a rien d'évident... Le cas polaire est différent du cas équatorial...

Il me semblait pourtant qu'il y avait une raison "simple" au synchronisme entre la trajectoire Képlerienne et la trajectoire à travers le tunnel... Elle m'échappe pour le moment, mais elle me reviendra peut-être...
[

[SPH]

Je pense que la pierre qui arriverait deja au 1/4 de course commencerait a se rapprocher des murs. Puis, a mi course, la pierre stopperait et serait contre la paroie du puits, au milieu de la terre

[invité576543]

Certes, sauf que la force la force radiale est ici en r et non pas en 1/r ou en 1/r²

Argh... Autant pour moi...

, et que les forces tangentielles n'interviennent pas si on suppose le tunnel infiniment fin et sans frottement.
[

C'est l'hypothèse sans frottement qui compte: sans frottement = sans travail, sans perte d'énergie, puisque la force de Coriolis est perpendiculaire à la vitesse.


Cordialement,

[invité576543]

Bonjour,

Comme cela m'intrigue, j'ai pris mon crayon et papier...


Képler:

Accélération

Vitesse linéaire d'orbite circulaire

Période pour demi-grand-axe de d


Tunnel :

force en x (distance au centre), gravitation + accélération centrifuge

potentiel en -x², soit

Solution périodique de l'équation homogène en

Soit une période de

Accélération initiale:
d'où , en prenant comme accélération à la distance:

Période

C'est bien la même que la période Képlérienne.

MAIS!

Mais en équatorial, en fait l'accélération en surface est

La période est donc légèrement différente,


Conclusion, c'est égal dans le cas polaire (l'orbite képlérienne étant elle-même polaire), et légèrement différent en équatorial...

Cordialement,