Cisaillement

[mc222]

Bonjour,

J'essais de trouver une définition bien rigoureuse, vectorielle pour la déformation en cisaillement ( dans le cas de la loi de Hook pour les solide) et le taux de cisaillement (dans le cas de la loi de Newton pour les fluides).

Ces deux loi de comportement donnent une contrainte en cisaillement, seulement pour moi, la contrainte en cisaillement est un vecteur.
Les loi classiques du type (loi de Hook)

ou



ne donnent que la norme du vecteur contrainte.

Il est donc necessaire de définir les déformation et taux de déformation de manière vectorielle.

J'avais pensé, tout simplement, que :



si
est le vecteur déplacement local.

et



si
est le vecteur vitesse local.

Voila, qu'en pensez vous ?

Merci, au revoire.
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[Maxou49bis]

Bonjour

Il me semble qu'il y a des erreurs dans ce que vous écrivez :

Tout d'abord, n'est pas fonction de la dérivée par rapport au temps de l'angle .

Les deux autres relations que vous écrivez sont fausses également.

Ensuite, si vous vous placez dans le cas général, la loi de Hooke que vous citez n'est pas suffisante. En effet, celle-ci s'applique uniquement aux poutres. Pour un solide tri-dimensionnel, il faut utiliser la loi de Hooke Généralisée. Celle-ci s'exprime ainsi :

[]=(1+)*[]-/E*trace([])*[1]

Avec
[] : Le tenseur des déformations
[] : Le tenseur des contraintes
[1] : La matrice identité (3*3)
: Le coefficient de poisson
E : Le module d'Young
correspond aux trois termes non diagonaux du tenseur des déformations
correspond aux trois termes non diagonaux du tenseur des contraintes.

Cette relation de Hooke généralisée s'applique aux solides déformables dans le domaine élastique.

[mc222]

ok, et existe t'il une relation similaire pour les fluides ?

[Maxou49bis]

Pour les fluides, il existe cette relation qui lie le tenseur de viscosité au tenseur des taux de déformation. C'est la loi de comportement visqueux :

[S]=2**[D]

avec :
[S], le tenseur des viscosités définit tel que :

[S]=[]-1/3*trace([])*[1 ]

En fait, le tenseur de viscosité correspond au tenseur des contraintes auquel on retranche la pression hydrostatique p sur la diagonale (p=1/3*trace([])).

est la viscosité. Celle-ci est constante pour les fluides newtoniens (ce qui correspond à la grande majorité des fluides)

Enfin, [D] est le tenseur des taux de déformation que l'on peut calculer ainsi :

[D]=1/2*([grad(]+[grad()])

[A voir en vidéo sur Futura]