Pedule double et chaos

[invitef86af93b]

Bonjour,
dans le cadre d'une projet expérimental en seconde année de physique fondamentale, nous devons étudier le chaos par le biais d'un pendule double.
Nous avons quelques doutes suites à nos observations(traitement vidéo point par point):
-le pendule double est-il vraiment un système chaotique? Certes de manière qualitative, il apparait clairement... chaotique mais aux vues de nos diagrammes de phases on arrive pas à obtenir des attracteurs intéressants? Peut ont nécessairement obtenir des figures intéressantes ? ou il y trop de modes de vibration?
Peut être n'avons nous pas représentés les bonnes variables dans l'espace des phases, nous avons tracé l'angle de la première barre, l'angle de la seconde barre et la vitesse angulaire de l'une des barres.

Merci pour votre aide, je l'espère
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[Micki2a]

Bonjour,

Voici une animation sympathique: http://www.sciences.univ-nantes.fr/p...le_double.html

Le pendule double est bien un système chaotique, quand on écrit les équations de mouvement, on obtient des équations non linéaires.

[invitef86af93b]

Oui mais équations non-linéaires n'impliquent pas forcément phénomènes chaotiques?

[Micki2a]

Je n'ai pas forcément de connaissances sur les systèmes chaotiques mais bon j'ai souvent entendu dire que dans les systèmes chaotiques on obtenait des équations non linéaires. Mais bon est ce que la réciproque est vraie?

La dernière fois que j'ai entendu dire ça c'était hier dans Jurassic Park (Oui oui super référence). Non mais sinon j'ai des amis qui font un TIPE sur le chaos et ils tombent sur des équations non linéaires. J'ai vu leurs équations sur le pendule double.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef86af93b]

Oui je pense pas que la réciproque soit vraie.
Justement mon problème est que je n'arrive pas à obtenir des attracteurs dits étranges. Donc faudrait que je sache si je peux continuer à trifouiller mes données, ou si c'est pas la peine et je trouverais pas ce genre d'attracteurs.

[Micki2a]

La preuve que la réciproque est fausse.

On a l'équation d'un pendule simple: d²Teta/dt² + g/l sin teta = 0

On est obligé de faire l'approximation des petites oscillations pour avoir sin (teta) = teta pour ainsi résoudre l'équation.

Cependant si on ne fait pas l'approximation, on a une équation non linéaire. Vous avez déjà vu un pendule simple partir en vrille? xD

(Est ce un bon exemple?) Enfin bref, il va falloir attendre la réponse de quelqu'un de + performant

[invitef86af93b]

Dans le cas de grandes oscillations le pendule simple est soumis à une certaine sensibilité aux conditions initiales, que j'ai pu vérifier par une modélisation.
Cependant le pendule simple n'est pas chaotique...

[invitef86af93b]

Un système chaotique est-il chaotique si il l'est tout le temps ou si il peut l'être sous certaines conditions?
J'aimerais aussi savoir si le spectre de Fourier est nécessairement continu (modes de vibration "infinis")?
Merci beaucoup !

[invitef17c7c8d]

Un système chaotique est-il chaotique si il l'est tout le temps ou si il peut l'être sous certaines conditions?
J'aimerais aussi savoir si le spectre de Fourier est nécessairement continu (modes de vibration "infinis")?
Merci beaucoup !

Bonjour,
Alors là, tu poses vraiment une super question!

En fait, le double pendule ne peut pas être chaotique!
Le chaos ne peut apparaitre que si au moins trois pendules sont suffisament couplés.

Comme toujours en physique, il y a toujours plusieurs représentations d'un même phénomène, et c'est encore le cas avec le chaos.


1. Sensibilité aux conditions initiales et exposant de Lyapunov positif.
Tu prends ton système tu lui rajoute une incertitude quelquechose, et tu regardes si ce quelquechose croit de manière exponentielle avec le temps ou pas. D'autre part, tu sais qu'une exponentielle positive tend vers l'infini, et qu'une exponentielle négative tend vers zéro. Ce qui rend l'exponentielle positive ou négative c'est l'exposant de Lyapunov. Pour imager, le quelquechose est le battement d'aile du papillon à Tokyo et l'exponentielle positive est la tornade en Louisiane.

2. Approche géométrique dans l'espace des phases (Déplacement en abscisse, Vitesse en ordonné) .
Le pendule décrit une ellipse dans cet espace. Si tu as 10 pendules, il faut imaginer un hyperespace de dimension 10 avec une éllipse dans chaque dimension.
Mais le système n'est pas chaotique, les 10 élipses restent constament 10 élipses au cours du temps. c'est l'approche modale.

Si le système est chaotique, alors tout se passe comme si tu ajoutais de nombreuses dimensions j'usqu'à atteindre une infinité de dimensions pour décrire ton système de 10 pendules.
Cependant, l'attracteur étrange a en fait une dimension finie. Il existe d'ailleur des algrithmes pour déterminer la dimension d'un attracteur étrange.

La transformé de fourier d'un attracteur étrange montre un spectre continue, donc l'illusion d'une infinité de modes

3.La thèorie ergodique
En général, il est difficile d'étudier directement les attracteurs étranges, du coup on utilise la théorie ergodique pour simplifier l'analyse.Si les dix pendules sont dans un certain état au début, il vont évoluer pour se stabiliser vers un état invariant.

[invitef86af93b]

Tout d'abord merci beaucoup pour toutes ces précisions. J'ai donc bien compris le problème du sprecte continu.
Je comprends bien qu'un système est chaotique si pour un x+epsilon le mouvement sera exponentiellement différent ce celui en x.
Par contre je ne vois toujours pas pourquoi le pendule triple est chaotique, contrairement au pendule double. Car en rajoutant à nouveau un pendule couplé on ne fait qu'ajouter un degré de liberté? Il faudrait donc 3 degré de liberté en condition nécessaire pour obtenir le chaos?
Merci

[invitef17c7c8d]

Tout d'abord merci beaucoup pour toutes ces précisions. J'ai donc bien compris le problème du sprecte continu.
Je comprends bien qu'un système est chaotique si pour un x+epsilon le mouvement sera exponentiellement différent ce celui en x.
Par contre je ne vois toujours pas pourquoi le pendule triple est chaotique, contrairement au pendule double. Car en rajoutant à nouveau un pendule couplé on ne fait qu'ajouter un degré de liberté? Il faudrait donc 3 degré de liberté en condition nécessaire pour obtenir le chaos?
Merci

C'est Ruelle qui a démontré cela en 1978. C'est ce que l'on appelle la bifurcation vers le chaos. En fait il existe plusieurs scénarii.Les plus connus sont
1. Celui de Ruelle
2. Celui de Feigenbaum

[invitef86af93b]

D'accord je vais m'intéresser à ces birfurcations vers le chaos.
Merci

[invitef86af93b]

Le pendule double simple donne ces équations, je n'arrive pas par une approximation à (qui est l'angle relatif entre les deux barres) tend vers 0 à me ramener à un semblant d'équations dignes d'un pendule simple??

Merci