bonjour,
dans mon cours d'élasticité j'ai vu on modélise la déformation pur par E dOM et la rotation pure aves G dOM avec E est une matrice symetrique et G une matrice antisymetrique.
pourriez vous me donner une explication physique du faite qu'on modélise la déformation avec une matrice symetrique et la rotation avec une matrice antisyymerique??
merci d'avance
Bonsoir,
grossièrement le principe est le suivant :
- toute matrice se décompose sous la forme de la somme d'une matrice symétrique et d'une antisymétrique, donc toute transformation se décompose ainsi et tu peux analyser les 2 cas indépendamment l'un de l'autre
- tu vérifieras toi-même assez facilement que multiplier un vecteur 3d par une matrice 3x3 antisymétrique est strictement équivalent à prendre le produit vectoriel d'un vecteur bien choisi (le "vecteur de rotation" associé à la matrice) et de ton vecteur initial. Cela repose en particulier sur le fait qu'une telle matrice possède 3 éléments indépendants, tout comme un vecteur
- reste donc le cas de la partie symétrique. Or, toute matrice symétrique est diagonalisable. Ca veut dire qu'il existe une base de l'espace dans laquelle ta matrice est diagonale. Dans cette base, tu vois donc facilement que l'effet de cette matrice est de multiplier chacune des "directions" par un facteur qui dépend de la valeur propre associée à la direction en question. Si tu considères une sphère de rayon 1 et que tu prends 3 vecteurs initiaux orthonormés (3 vecteurs propres unitaires formant une base par exemple) avec pour origine le centre de la sphère puis que tu passes chacun des vecteurs "dans" la matrice symétrique, chacun va être multiplié par un facteur et si tu cherches la surface tangente à ces vecteurs (ce qui était au départ ta sphère de rayon 1), tu verras qu'elle a été déformée, sauf si les 3 valeurs propres sont égales (auquel cas tu as une dilatation isotrope)
tout ceci demanderait à être formulé plus proprement, mais l'idée est là
merci infiniment pour votre réponse
