Energie potentielle d'un pendule simple

[invite56b437b2]

Bonjour !
J'essaye de déterminer l'énergie potentielle d'un pendule simple dont le fil est de longueur l , l'axe horizontal est e_x et l'axe vertical descendant e_y. Le pendule fait un angle "phi" avec l'axe vertical descendant.
*Donc: Ep=-(integr) F dl
Ep=-(integr) mg e_y (dx e_x+ dy e_y+ dz e_z)
(Le poids ici est la seule force conservative)

Petite question: dl correspond au déplacement du pendule ? c'est à dire que je dois prendre dx e_x + dy e_y vu que le pendule a unmouvement circulaire il a une composante selon e_x et une autre selon e_y

Après l'intégration comment déterminer la constante ?
Merci d'avance.
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[invitec17b0872]

Bonjour,

Si le fil est inextensible, sa longueur l est constante et le problème se traite plus facilement en coordonnées polaires.
D'autre part, l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur est bien connue. Ep=mgz + cste, et vous déterminez la valeur de la constante en fixant l'origine des énergies.
Après, si vous voulez redémontrer l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur dans ce problème avec un système de coordonnées cartésien, ca devient des maths et non plus de la physique.
Enfin, la constante, quelque part, on s'en fiche, puisque ce qui va jouer pour le mouvement du pendule, ce n'est pas tant l'énergie dans l'absolu, mais sa variation.

Bon courage !

[invite56b437b2]

Le fil est inextensible oui. En réalité je cherche a avoir l'equation diférentielle du pendule avec le théorème de l'énergie mécanique mais j'aimerais savoir précisèment déterminer l'énergie potentielle qui est en réalité égale a Ep=mgl(1-cos (phi)) d'ou mes question.
j'ai déjà déterminé E_k=1/2ml²phi(point)².
Donc il me manque Ep pour continuer si vous pouvez m'aider ?

[invitec17b0872]

Les vecteurs sont en gras :

Exprimer ephi en fonction de ex et de ey (projection trigo)
Exprimer P dans la base ex,ey
Calculer le produit scalaire P.dl=P.l.d(phi)ephi
Vous tenez -dEp
Vous intégrez et vous choisissez une constante, par exemple "l'énergie potentielle est nulle quand le pendule est à son point le plus bas"
Et vous retrouvez la loi que vous avez citée.

Pour le mouvement du pendule, il suffit d'écrire dEm=0 où Em est l'énergie mécanique.

Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56b437b2]

donc
e_Phi= -sin (phi) e_x+ cos (phi) e_y
P=mg e_y

D'accord merci pour la constante donc pour phi=0 Ep=0 donc on peut déterminer la constante ?
Pour l'intégrale de l'energie potentielle je ne vois toujours pas on peut sortir mg de l'intégrale mais pour le dl je ne vois pas quoi "prendre"..

[invitec17b0872]

Vérifiez votre ephi
J'ai ephi=cos(phi)ex-sin(phi)ey
Un schéma faciliterait les choses.
Pour dl c'est relativement simple : la longueur est constante, la seule chose qui peut changer c'est l'angle phi : dl=l.d(phi).ephi
m, g et l sont des constantes qui sortent de l'intégrale. Il vous restera à intégrer une fonction trigo.

[invite56b437b2]

e_phi . e_x= ||e_x|| ||e_phi|| cos (Pi/2+ phi)= -sin (phi) e_x
...

[invite56b437b2]

D'accord pour le dl je viens de comprendre en fait on utilise le dl en coordonnées cylindrique puis apres on exprime e_phi en fonction des coordonnèes cartésiennes et apres on fait l'integrale. Merci

[invite6dffde4c]

Bonjour.
L'énergie potentielle est mgh. Si vous prenez le zéro en bas de l'oscillation elle sera mgl(1 -cosθ).
Si vous voulez la calculer en calculant le travail fait contre la gravité il faut de vous calculiez int (mg dh), entre 0 et θ. Soit vous intégrez sur h et c'est fini, soit vous êtes maso et vous voulez intégrer sur thêta. Dans ce cas ll faudra que vous exprimiez dh en fonction de θ.
Au revoir.

[invitec17b0872]

e_phi . e_x= ||e_x|| ||e_phi|| cos (Pi/2+ phi)= -sin (phi) e_x
...

Attention, il n'y a plus de 'ex' à la fin du calcul, on obtient un scalaire dans un produit scalaire !
Je suis d'accord avec le -sin(phi).
Continuez

[invite56b437b2]

C'est vrai

[invite56b437b2]

Ep= -mg (integ) -l d(phi) sin(phi) e_x+ l d(phi) cos (phi) e_y ?

[invitec17b0872]

Non,

P.dl=0.cos(phi) - mgl.sin(phi)
Ep= - int [-mgl sin(phi) d(phi)]=mgl int[sin(phi)d(phi)]=-mgl cos(phi) + cste

[invite56b437b2]

je sais pas si votre réponse est juste mais je sais que le résultat est Ep=mgl (1-cos (phi)) à part que que votre réponse soit juste vu que l'énergie potentielle est définie à une constante prêt.. ?

[invite56b437b2]

Je retire ce que je viens de dire ^^

[invitec17b0872]

Ep(phi=0)=0 ssi -mgl.cos0+cste=0 ssi cste = mgl
d'où Ep=mgl(1-cos(phi))
...

[invite56b437b2]

Je n'arrive pas à trouver pareil que vous pour l'expression de P.dl.
Je trouve P.dl= mg e_y ( l d(phi) e_(phi))
est ce que cette expression est juste là ?

[invitec17b0872]

Oui. Il reste à faire le produit scalaire ey.ephi
Dans la base (ex, ey) les coordonnées de ey sont (0 ; 1)
Dans la base (ex, ey) les coordonnées de ephi sont (cos phi ; - sin phi)

[invite56b437b2]

je trouve à la fin la même expression que vous sauf qu'a la place d'un cosinus j'ai un sinus et comme je vous disais plus haut e(phi)= -sin ex + cos ey donc je suis pas d'accord avec vous pour lexpression de e(phi)

[invitec17b0872]

Voilà le semblable du schéma sur ma feuille :
Schéma
Théta vaut pour Phi et chez vous, l'axe vertical est descendant.

Je ne peux rien pour vous à distance si vos projections ne collent pas...

[invite56b437b2]

Merci beaucoup je pense avoir trouvé le problème .

[invite56b437b2]

je viens de faire pareil avec le théorème du moment cinétique mais comment trouver ton la constante dans ce cas la. Je sais que si le mouvement est plan L_O/R=cste mais je ne pense pas que cela peut me servir ici.

[invitec17b0872]

La démarche est la suivante :
Par rapport au point d'attache du pendule dans le référentiel du labo,
Calculer le moment cinétique du pendule en fonction de m, l et phi point
Calculer le moment du poids en fonction de m, g, l et phi
Enoncer le théorème du moment d'inertie.
Il reste à calculer dL/dt et égaliser au moment du poids, et on retrouve exactement la même équation du mouvement sur phi.

Consulter cette page.

[invitec17b0872]

Désolé pour le double post :

Méfiez-vous : si L=cste alors le mouvement est plan, mais la réciproque est fausse. La preuve ici, L n'est pas constant et pourtant le mouvement est plan...