Equation de Boltzmann

[chaverondier]

Bonjour. Dans physique statistique, introduction, éditions Dunod, 2ème édition, de Christian et Hélène Ngô, Chapitre 12, on établit l'équation de Boltzmann. On l'établit d'abord sans collision (au § 12.6). Il s'agit dans ce cas d'un processus déterministe et réversible. On obtient ainsi l'équation d'évolution df/dt = 0 exprimant la nullité de la dérivée particulaire de la distribution f(r,v,t) du nombre de particules par unité de volume (6D) d'espace des positions-vitesses à une particule.

On établit ensuite l'équation de Boltzmann avec collision (au §12.9). Dans ce deuxième cas, du fait des collisions entre particules, la dérivée particulaire df/dt devient non nulle.

df/dt = (I_+) -(I_-)

On voit ainsi apparaître
* un terme (I_-) drdv de perte par unité de temps
* un terme (I_+) drdv de gain par unité de temps
en particules occupant un volume drdv de l'espace des positions-vitesses à une particule. En effet, sous l'effet des chocs moléculaires, certaines particules sortent du volume drdv éjectées par des collisions. D'autres particules rentrent au contraire dans ce même volume sous l'action d'autres collisions.

L'équation de Boltzmann avec collision ainsi obtenue n'est plus invariante par renversement du temps. Cela signifie que le terme (I_+) –(I_-) ne subit pas un simple changement de signe sous l'action d'un renversement du temps. De l'information est censée être perdue en raison de l'hypothèse dite de chaos moléculaire (que je n'ai pas vraiment bien comprise).

Pourtant, cette équation est obtenue à partir des équations du mouvement de la mécanique classique, équations qui sont réversibles. J'ai bien regardé l'établissement de cette équation et je n'arrive pas à comprendre à quel endroit précis l'irréversibilité émerge d'un raisonnement basé sur un comportement classique qui n'en présente pas.

En fait, je ne comprends pas pourquoi l'hypothèse de chaos moléculaire donne un résultat différent dans un sens d'écoulement du temps plutôt que dans l'autre. J'aimerais des éclaircissements sur ce point ou peut-être une page Web expliquant de façon détaillée à quel moment précis de l'établissement de l'équation émerge l'hypothèse et/ou les phénomènes physiques qui font apparaître l'irréversibilité et la perte d'information dans l'évolution temporelle de la distribution du nombre de particules dans l'espace des positions-vitesse 6D à une particule.

Bernard Chaverondier
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[zoup1]

C'est un peu difficile de discuter à partir d'un texte qui n'est pas disponible.
je te propose ce document que tout le monde peut consulter et que l'on peut peut-être utiliser comme base de discussion..
http://cel.ccsd.cnrs.fr/cours/cel-3/pottier8.pdf

[chaverondier]

Je te propose ce document que tout le monde peut consulter et que l'on peut peut-être utiliser comme base de discussion http://cel.ccsd.cnrs.fr/cours/cel-3/pottier8.pdf

Très bonne idée. La présentation de l'établissement de l'équation de Boltzmann y est d'ailleurs presque identique à celle donnée dans le livre d'introduction à la physique statistique de Christian et Hélène Ngô.

Bernard Chaverondier

[chaverondier]

Il y a toute une série d'expériences sur les rapports entre anti-matière et flèche du temps dans tout ce qui concerne la violation de l'invariance CP. Au LHC on étudiera les mésons B et leurs produits de désintégrations. C'est potentiellement très important pour comprendre l'asymétrie matière anti-matière de l'Univers. Bien évidement on spécule pour savoir si l'asymétrie temporelle apparente(?) de notre univers ne proviendrait pas de ces mécanismes microphysiques.

Où pourrait-on trouver un papier présentant un panorama un peu général des recherches à ce sujet ?

Par ailleurs, en ce qui concerne la question plus simple de la flèche du temps en mécanique classique, pourquoi le terme (df/dt)_coll (situé à gauche de l'équation de Boltzmann avec collision (1)) ne change t'il pas de signe quand on renverse le sens du temps ?

En fait, mon sentiment, c'est que l'affirmation selon laquelle l'hypothèse du chaos moléculaire introduirait une dissymétrie dans l'équation de Boltzmann est fausse (2). Derrière cette fameuse hypothèse, dite de chaos moléculaire (à laquelle on attribue, à tort je le crains, un effet de brisure de symétrie temporelle) se cache, selon moi, l'hypothèse implicite additionnelle d'interaction du système considéré avec son environnement. C'est même, à mon avis (et sauf indication me montrant pourquoi j'ai tort), cette hypothèse d’interaction du système avec son environnement (et non pas l'hypothèse de chaos moléculaire) qui empêche (df/dt)_coll de changer de signe quand on renverse le sens du temps.

Cette interaction empêche le système de revenir à son état initial si l’on renverse le sens d’évolution de toutes les vitesses d’évolution de ses variables d’état (3). La meilleure image est encore celle de la goutte d’encre. Si j’imagine qu’après avoir laissé l’encre se diffuser en partie dans le verre d'eau, je renverse les vitesses de toutes les particules, l’encre ne va pas se reconcenter. Pourquoi ? Rien à voir avec l’hypothèse de chaos moléculaire. Ce sont les perturbations dues à l’environnement qui vont faire que l’encre, après avoir commencé à se reconcentrer, va rapidement recommencer à se diffuser.

Ce que je dis est-il juste, partiellement juste ou complètement faux ?

Bernard Chaverondier

(1) df/dt = (df/dt)_coll avec (df/dt)_coll faisant le bilan des molécules qui, sous l'action des chocs moléculaires, entrent et sortent par unité de volume d'espace de phase et par unité de temps (dans l'espace de phase à une particule).

(2) Selon moi, à elle seule, l'hypothèse dite de chaos moléculaire permet seulement d'écrire que, pour deux particules amenées à se cogner, la densité de probabilité dans l'espace de phase à deux particules est le produit des densités de probabilité dans l'espace de phase à une seule particule (de chaque particule). C’est donc l'approximation selon laquelle il y a absence de différence entre densité de probabilité qu'une particule soit dans un état (de position-impulsion) et densité de probabilité conditionnelle qu'une particule soit dans cet état quand on connaît l'état d'une particule qui va la cogner. Je ne vois pas encore de dissymétrie temporelle s’introduire la dedans car on peut faire cette même hypothèse aussi bien avant qu’après le choc.

(3) Du coup, je suis tenté de penser qu’il doit en être de même pour l’irréversibilité de la mesure quantique. La mesure quantique est irréversible probablement parce que le système, l’appareil de mesure et même l’environnement interagissent avec "quelque chose" (le fond de rayonnement gravitationnel ?) qui joue le rôle de "broyeur et diffuseur de l’information" accessible à l’observateur, broyage et diffusion nécessaires pour rendre cette information totalement inaccessible à l’observateur (à ce jour) et faire ainsi apparaître la flèche du temps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chaverondier]

Bonjour. Je me permets de me répondre car j'ai maintenant bien compris

1/ l'hypothèse dite du chaos moléculaire à l’origine de l’irréversibilité de l’équation collisionnelle de Boltzmann donc à l’origine aussi de la flèche du temps émergeant du théorème H de Boltzmann (émergence mystérieuse quand on a pas bien compris le rôle joué par l’hypothèse du chaos moléculaire).

2/ l’origine physique de l'irréversibilité de l’évolution d’un gaz parfait « isolé » démontrée par le théorème H de Boltzmann, théorème censé prouver le second principe de la thermo (croissance de l'entropie des systèmes isolés) dans le cas particulier des gaz parfaits.

3/ Les suggestions qui en découlent (si on a tendance à croire à l’utilité des analogies en physique) pour l’interprétation de l’indéterminisme et de l’irréversibilité de la mesure quantique (rien de révolutionnaire. Je ne fais que rappeler, je suppose, un des points de vue envisageables sur la question).

L'affirmation selon laquelle l'hypothèse du chaos moléculaire introduirait une dissymétrie temporelle dans l'équation de Boltzmann est fausse.

Tout dépend ce qu'on lui fait dire ou pas dire (voir plus bas).

Derrière cette fameuse hypothèse, dite de chaos moléculaire (à laquelle on attribue, à tort je le crains, un effet de brisure de symétrie temporelle) se cache, selon moi, l'hypothèse implicite additionnelle d'interaction du système considéré avec son environnement.

Il existe des références (notamment celle [1] de zoup1 et [2]) où l'hypothèse d'interaction du gaz avec l'environnement (interaction effaçant l’information de corrélation entre paires de particules induite par chocs) est explicitement rattachée à l'hypothèse de chaos moléculaire, au lieu de laisser au lecteur le soin de la deviner.

C'est même cette hypothèse d’interaction du système avec son environnement qui empêche (df/dt)_coll de subir un simple changement de signe quand on renverse les vitesses de toutes les particules.

C’est exact. Toutefois, le document de zoup1 [1] est (à juste titre) catégorique au sujet de l'hypothèse de chaos moléculaire à l'origine de l'irréversibilité de l'équation de Boltzmann. Pour que cette hypothèse donne bien l'équation de Boltzmann, elle doit être considérée comme exprimant l'absence de corrélation entre les distributions de probabilité des impulsions des particules du gaz parfait avant collision (d'ailleurs l'hypothèse d'absence de corrélation après collision donnerait un indéterminisme au lieu d'une irréversibilité).

Or, pour une famille de paires de particules de même masse dont la distribution conjointe de probabilités de leurs impulsions est décorrélée avant collision (distribution de probabilité conjointe = produit des distributions de probabilité marginales) la collision entre les particules de ces paires engendre une corrélation des densités de probabilité des impulsions après collision [2]. L'hypothèse de chaos moléculaire, telle qu'elle est utilisée pour établir l'équation collisionnelle de Boltzmann des gaz parfaits, introduit donc implicitement l'hypothèse selon laquelle la corrélation engendrée par collision est effacée entre un choc et le suivant (c'est à dire en une durée inférieure au temps de libre parcours moyen).

Physiquement, cette information de corrélation est-elle réellement effacée ?
* Réponse : Oui ! A titre d'illustration si (situation similaire) on renverse la vitesse de toutes les particules du mélange d'une goutte d'encre dans un verre d'eau, cela ne permet pas au mélange de revenir à l'état où l'encre était concentrée dans une goutte.

A quoi est du cet effacement ?
* Réponse : à l'interaction du système "isolé" avec son environnement.

Comment cet effacement peut-il être aussi rapide et efficace ?
* Réponse : à titre d’exemple, Borel a montré en 1924 qu'une modification du champ gravitationnel aussi faible que celle induite par le déplacement d’un petit caillou sur Sirius était suffisante (une fois la terre atteinte par la perturbation) pour modifier du tout au tout l'état microphysique d'un gaz en quelques fractions de secondes (3)

Finalement le théorème H de Boltzmann (reposant sur l'équation collisionnelle de Boltzmann) démontre, dans le cas des gaz parfaits, la croissance de l'entropie des systèmes isolés...
...à condition qu'ils ne soient pas isolés.

Interrogeant Boltzmann sur la façon dont il parvenait à obtenir une évolution à entropie croissante d'un gaz parfait isolé censé évoluer selon une dynamique Hamiltonienne (donc unitaire déterministe et réversible)
* l'objection dite de réversibilité de Loschmidt (évoquant le conflit entre micro-réversibilité et irréversibilité traduite par le théorème H de Boltzmann)
* l'objection dite de récurrence de Zermelo (reposant sur le fameux théorème de récurrence de Poincaré) étaient donc en partie justifiées.

Boltzmann démontre la croissance de l'entropie d'un gaz parfait isolé… …en supposant implicitement qu'il n'est pas isolé. En mécanique classique, la perte d'information à l'origine de l'irréversibilité de l'écoulement du temps découle donc de l'interaction des systèmes observés avec leur environnement. Un système physique qui serait idéalement isolé ne pourrait pas évoluer de façon parfaitement irréversible. En théorie, on pourrait le faire revenir à son état initial en renversant les vitesses d'évolution de ses variables d'état microphysiques. Bref, pour avoir une irréversibilité parfaite (perte complète d’information sur l’état microphysique antérieur du système observé et impossibilité de ramener le système à un état antérieur en renversant la vitesse d’évolution de toutes ses variables d’état microphysique) la myopie de l'observateur n'est pas nécessaire. Une certaine étroitesse de vue de l’observateur suffit (l’information qui s’est échappée loin de lui dans l’environnement doit lui être inaccessible).

Du coup, je suis tenté de penser qu’il doit en être de même pour l’irréversibilité de la mesure quantique. La mesure quantique est irréversible probablement parce que le système, l’appareil de mesure et même l’environnement interagissent avec "quelque chose" (le fond de rayonnement gravitationnel ?) qui joue le rôle de "broyeur et diffuseur de l’information" accessible à l’observateur, broyage et diffusion nécessaires pour rendre cette information totalement inaccessible à l’observateur (à ce jour) et faire ainsi apparaître la flèche du temps.

Je n'ai pas changé d'avis là dessus pour l'instant. Le conflit entre irréversibilité, indéterminisme et non unitarité de la mesure quantique avec le caractère unitaire, déterministe et réversible de la dynamique quantique est très similaire au même type de conflit déjà observé en mécanique classique entre microréversibilité et irréversibilité des évolutions macroscopiques ainsi qu'entre microdéterminisme et indéterminisme de fait (lorsque l'on est en présence d'une dynamique du chaos déterministe). Supposer une origine physique analogue pour expliquer l'indéterminisme et l'irréversibilité de la mesure quantique (plutôt que se contenter de la séparation en mondes multiples émergeant brute de fonderie du modèle mathématique) semble assez raisonnable.

D'ailleurs, plusieurs aspects maintenant connus suggèrent, selon moi, de creuser dans cette direction. Je veux évoquer
* le fait que la décohérence fait bien intervenir l’interaction du système quantique observé et de l’appareil de mesure avec l’environnement
* le fait que l’information censée être irrémédiablement perdue au fond du trou noir (entropie de Hawking Bekenstein) s’avérerait en fait cachée dans les micro-états quantiques associés à un trou noir (modélisés en théorie des cordes).

Reste à savoir (si l’hypothèse d’un échange d’information non local du système observé et de l’appareil de mesure avec l’environnement s’avérait être à l'origine de l'indéterminisme quantique) selon quel processus physique précis l'information cachée dans l’environnement réémerge à l'issue de la mesure quantique pour faire rebasculer le système observé dans un nouvel état pur (effacement apparent de l’intrication du système et de l’appareil de mesure avec l’environnement avec basculement du système observé et l’appareil de mesure dans un état propre de l’observable mesurée lors d’une interaction de même type qu’une mesure quantique).

Bernard Chaverondier

[1] http://cel.ccsd.cnrs.fr/cours/cel-3/pottier8.pdf

[2] The Direction of Time (Hans Dieter Zeh)
http://www.time-direction.de/
Chapter 3 the thermodynamical arrow of time
Chapter 4 the quantum mechanical arrow of time

(3) En raison de l'amplification en l/r d'un petit écart sur les positions initiales des particules du gaz à chaque fois que s'écoule une durée de l’ordre du temps de libre parcours moyen (l étant la distance de libre parcours moyen et r le rayon d'interaction des particules).

[mtheory]

Où pourrait-on trouver un papier présentant un panorama un peu général des recherches à ce sujet ?.

Il y a toute une littérature sur la phénoménologie de la violation CP.Si l'on croit à CPT alors cela doit impliquer une violation de T dans certain processus microphysiques.Cette littérature traite surtout de l'aspect physique des particules.
Par contre il y a des papiers intéressants ,généraux mais complexes sur la gravitation quantique ,la décohérence,la violation de CPT et des histoires de violation d'évolution unitaire ,d'irréversibilité etc...en liaison avec les systèmes Ko/Kobarre et B/Bbarre
On peut en extraire des passages accessibles mais le reste l'est beaucoup moins.
Je peux vous les donner .

[JPouille]

Il y a toute une littérature sur la phénoménologie de la violation CP.Si l'on croit à CPT alors cela doit impliquer une violation de T dans certain processus microphysiques.

A ce propos, (meme si je m'eloigne un peu du sujet), il y a une chose que je ne comprends pas. Il me semble que lorsque l'on choisit la prescription de Feynman (le i Epsilon), on choisi (de memoire), la fonction de Green symetrique dans le temps (invariante sous T). Si ce que je dis est bien vrai (?), il s'ensuit a mon avis que toute la TQC est invariante sous T. Je ne comprends pas alors comment on peut violer CP puisqu'il faut violer T, ce qui n'est pas le cas dans le formalisme meme.
Je dois faire erreur, merci de me corriger!!

[mtheory]

A ce propos, (meme si je m'eloigne un peu du sujet), il y a une chose que je ne comprends pas. Il me semble que lorsque l'on choisit la prescription de Feynman (le i Epsilon), on choisi (de memoire), la fonction de Green symetrique dans le temps (invariante sous T). Si ce que je dis est bien vrai (?), il s'ensuit a mon avis que toute la TQC est invariante sous T. Je ne comprends pas alors comment on peut violer CP puisqu'il faut violer T, ce qui n'est pas le cas dans le formalisme meme.
Je dois faire erreur, merci de me corriger!!

Les propagateurs libres sont invariants mais lorsqu'il y a des termes d'interactions tout change et l'on peut obtenir des fonctions de Green et surtout une matrice S ne respectant pas la microréversibilité.
Si l'on rajoute un espace-temps courbe alors ça peut devenir pire!

[JPouille]

oups, ok...

[benjgru]

"entre le temps et l'éternité" d' Ilya Prigogine ...

[livre]

Bonjour,

Pourquoi le théorème de Boltzmann porte-t-il le nom (ou plutôt la lettre) "H"? Pourquoi pas une autre lettre ?

Quelle est la différence entre le théorème "H" et le second principe? Est-ce que le second principe est devenu démontrable (donc a perdu son rang de principe) avec l'équation (théorème) de Boltzman?

[invite420f3ca6]

Bonjour,

Je crois que pas mal de choses sont dites ici : http://http://fr.wikipedia.org/wiki/...A9or%C3%A8me_H
En gros, c'est un théorème selon lequel il existe une grandeur H(t) (d'où le nom de théorème H, je crois que ce choix est purement aléatoire) qui varie de façon monotone lors de la relaxation d'un gaz vers son état d'équilibre. Mais au départ, ce théorème est critiqué de partout, notamment par Loschmidt et Zermelo qui y relèvent des incohérences et ce n'est qu'après qu'on put identifier H avec l'entropie, d'où la différence avec le second principe.