equation de poisson-boltzmann

[invite93279690]

Bonjour,

C'est sans doute une betise mais il y a quelque chose que je ne comprends pas dans l'établissement de l'equation de Poisson-Boltzmann.
Dans tous les bouquins je trouve le raisonnement suivant:
-"si on a (pour simplifier) le même nombre d'ions positifs (valence 1) que negatifs dans une solution, le nombre d'ions positifs par unité de volume autour d'un point est donné par Boltzmann (si on ne considère ici que l'electrostatique):
(1)
de la même façon on a:
(2)
on obtient alors la densité de charges par unité de volume au point :

En partant ensuite de l'equation de Poisson dans un milieu on trouve alors :
"

Ce dernier résultat constitue l'equation de Poisson-Boltzmann sur laquelle on peut baser l'electrostatique en solution.
Je suis peut être completement à coté de la plaque ( je mettrais ça sur le coup de la fatigue ) mais le truc que je ne comprends pas dans les étapes (1) et (2) c'est où est passée la fonction de partition lorsqu'on utilise la statistique de boltzmann ?
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[invite9c9b9968]

Tu parles bien du terme au dénominateur lorsque l'on écrit la proba canonique ? Il est rentré dans le non ?

[invite93279690]

Tu parles bien du terme au dénominateur lorsque l'on écrit la proba canonique ? Il est rentré dans le non ?

ben non justement il est pas dans le (du moins je ne crois pas) puisque est défini comme étant la densité volumique de l'espece ionique (la concentration quoi) en l'absence de potentiel ce que je comprends comme étant tout simplement .
Le seul problème c'est que pour moi quand on fait ce calcul, on travaille en fait dans un ensemble statistique autour d'un point donné. Et ce point étant donné, la fonction de partition associée à la proba. d'avoir un ion positif ou négatif au voisinage de ce point est
(3)
Donc en gros je ne comprends pas pourquoi on ne divise pas (1) et (2) dans mon message precedent par (3)

[invite9c9b9968]

Argh oui effectivement tu as raison ce n'est pas dans le et en plus je suis d'accord avec toi maintenant, car j'ai le souvenir que dans mon cours de l'an dernier j'ai à la fin th(..) et pas sh(...) ce qui correspond bien à la division par ch(...). Tu es sûr qu'en fait tu n'as pas mal lu dans les bouquins ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93279690]

Argh oui effectivement tu as raison ce n'est pas dans le et en plus je suis d'accord avec toi maintenant, car j'ai le souvenir que dans mon cours de l'an dernier j'ai à la fin th(..) et pas sh(...) ce qui correspond bien à la division par ch(...). Tu es sûr qu'en fait tu n'as pas mal lu dans les bouquins ?

ah ba non tu peux même regarder sur les sites internet sur le sujet c'est moi qui ai faut

[invite9c9b9968]

Je n'ai pas mon cours sous la main, je le relirai demain

En attendant, je me demande si ce n'est pas tout simplement parce que l'on rajoute à la main un terme de décroissance exponentielle type Boltzman. Mais c'est troublant effectivement... Un spécialiste dans la salle ?

[mtheory]

Il y a un point important,la fonction de partition Z est donnée par la somme sur tout les états d'énergies donc il faut intégrer les exponentielles sur tout l 'espace,la solution du problème doit se trouver là je crois .
Pensez à la théorie cinétique des gaz et pas à la théorie du paramagnétisme quantique !

[invite9c9b9968]

Ah tient c'est pas bête ça

[invite93279690]

Il y a un point important,la fonction de partition Z est donnée par la somme sur tout les états d'énergies donc il faut intégrer les exponentielles sur tout l 'espace,la solution du problème doit se trouver là je crois .

J'y ai pensé mais dans ce cas la fonction de partition a la dimension d'un volume et donc l'equation n'est plus homogène puisque a la dimension d'une densité volumique. C'est pour ça que j'avais précisé qu'on pouvait faire la statistique en plusieurs étapes dont la premiere consistait à faire une statistique dans un volume "infinitesimal" au sens hydrodynamique par exemple autour d'un point .

Pensez à la théorie cinétique des gaz et pas à la théorie du paramagnétisme quantique

Effectivement je crois que mon erreur est là, en fait si est la concentration du composé sous forme A-C alors, à potentiel nul, en solution, on a (si valence 1 pour les ions et contre ions) ....donc apparemment je m'étais trompé ne serait ce que là dessus (même si a priori on peut aussi raisonner, je pense, avec le nombre total d'ions en solution).
Comme tu l'as fait remarqué sur mon raisonnement qui ressemble un peu trop à du paramagnétisme quantique, dans le cas considéré, on traite deux systèmes statistiques differents. D'un coté la statistique des ions positifs et de l'autre la statistique des ions négatifs qui sont a priori indépendants (on ne peut pas le traiter comme je le laissais entendre avec une statistique à une particule qui pourrait prendre l'état + ou -).
En raisonnant de cette façon, je vois où sont la plupart de mes erreurs sauf que comme tu le soulignes il devrait tout de même y avoir une fonction de partition adimensionnée de la forme

qui intervient dans les equations (1) et (2) et je ne sais pas pourquoi elle n'y est pas.