équation de poisson ; approximation non nodale

[invited877b256]

Bonjour à tous,

un ouvrage m'expose l'approximation de la solution du système linéaire suivant...


avec les conditions aux limites u=0 sur le contour (i.e. un carré dans le plan (x,y))
...par une combinaison linéaire de polynômes, tel que


Je souhaite faire appel à vous parce que je ne comprends pas comment a été établie la solution, constituée par les polynôme.. :



Même si je comprends ce qui a été fait dans l'idée, c'est à dire, chercher une base pour (un ev ?) le développement d'une solution qui respecte les conditions aux limites, je ne maîtrise pas plusieurs choses, dont "comment construire une base" et "l'algèbre des pôlynomes,encore moins à deux dimensions".

ce que j'ai tenté pour le moment, mais c'est plutôt nul je le reconnais et peut être à coté de la plaque, c'est pour P1 par exemple :
" sur le carré, le déplacement en x est indépendant de celui en y et inversement. On peut trouver deux fonctions tel que..

en x ou en y, un pôlynome d'ordre 2 est minimum pour respecter idem en y d'où :

idem pour y.
Pour P2 bien évidement cela ne marche pas.

Pourriez vous m'aider s'il vous plait et me dire ce qui a été fait et comment?

ManuP
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[invited877b256]

erratum : u(x,y) = a1 *P1 + a2 * P2
merci de votre aide.

[invited877b256]

help !

[invite6b1e2c2e]

Bon, je viens de regarder en détail ce post que j'avoue avoir skippé parce que ça semblait un peu compliqué.
Mais, la première question que je me pose en voyant ça, c'est : Qu'est ce que C (la fonction dans l'équation)?
Autre remarque, si tu fais u = P1, tu obtiens
-C = 2(x^2+y^2 -2)
Et u = P2 donne
-C = un autre truc, pas très joli à écrire.
J'en déduis qu'il y a quelque chose que je ne comprends pas.
Sinon, évidemment, P1 a le bon goût de s'annuler exactement sur le carré, ce qui est plutot chouette, pour notre problème. Maintenant, pour P2, je vois pas du tout d'où ça vient.

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rvz, qui n'apporte pas grand chose, mais répond aux demandes de manup sur des threads annexes...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited877b256]

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rvz, qui n'apporte pas grand chose, mais répond aux demandes de manup sur des threads annexes...

Chaque remarque peut m'apporter quelquechose, ne serait-ce qu'au moins pour clarifier mon post.

Bonjour et merci bcp donc de ton aide.

C = constante,
il faut déterminer a1 et a2 qui satisfasse un pb particulier mais ce n'est pas l'objet du pb mais plutot de trouver une base de polynome sur laquelle on peut trouver une solution.

Alors voici quelques précision même si je ne voudrais pas vous "gaver".

a) un problème plus simple mais analogue :

soit , la solution exacte est
Mais on veut l'approximation
Avec l'aide de l'éq originelle, en prenant deux points x1 = blabla et x2 =blabla ont trouve que que a1 = blabla et a2 = blabla

... Ici, ma fameuse base est celle des avec n=[1 2]. Pour x=[0,pi] on vérifie bien les conditions limites. Un exercice de première année consiste à montrer que cet ensemble forme bien une base, je ne sais plus comment on fait. Peut être que ça marcherai avec P1 et P2.

b) il est beaucoup question dans mon livre de l'interpolation de Lagrange, c'est l'esprit ici également c'est pour cela que la base doit être polynomiale mais je sais bien que P1 et P2 ne sont pas des polynomes de lagrange (quoi qu'a deux dim, je n'y connais rien)

Malheureusement, cet assertion d'une demi page est fondamentale pour le reste de l'ouvrage qui est basé sur cet exemple considéré comme "trivial", ensuite on enchaine sur les résidus pondérés et les formes faibles de ces équations ou les L(P) rentre en jeu.

Donc, rvz (et tout autre personne, y compris celles de l'école du nord qui seront les biens venus) mon but est, pour un nullard en algèbre comme moi, de comprendre comment les auteurs ont construit cette base de polynôme (la vérification de eq=0 importe peu)

Merci si vouspouvez me sortir du fond !

[invite4793db90]

Salut,

je ne comprends pas tout mais bon, je vais essayer de t'aider.

Ici, ma fameuse base est celle des avec n=[1 2]. Pour x=[0,pi] on vérifie bien les conditions limites. Un exercice de première année consiste à montrer que cet ensemble forme bien une base, je ne sais plus comment on fait.

Je ne comprends pas trop pourquoi on cherche l'approximation sous la forme de deux termes seulement... Mais le fait est que les sont indépendants et donc forment une base de l'espace vectoriel qu'ils engendrent.

Pour le montrer sur ton exemple il suffit de supposer qu'il existent des telles que : en prenant x=1 on obtient puis , cqfd.

b) il est beaucoup question dans mon livre de l'interpolation de Lagrange, c'est l'esprit ici également c'est pour cela que la base doit être polynomiale mais je sais bien que P1 et P2 ne sont pas des polynomes de lagrange (quoi qu'a deux dim, je n'y connais rien)

Je ne vois pas le lien entre les sinus et tes polynômes... Et que signifie : transformée de Laplace ?

Cordialement.

[invited877b256]

bonsoir,
merci d'essayer de m'aider.
J'ai mis l'exemle des "sinus" qui était donné au début de l'ouvrage, juste à titre d'exemple pour montrer comment les auteurs procédaient pour approximer la solution d'une équation diff et illuster le concept de base. C'était juste pour dire que mes P1 P2 jouaient le même role que les sin n pi x ici.
A ce sujet j'ai vu des récents post (moumni et esprittordu) ou on développe des solution sur exp(i pi n t), c'est pareil. D'ailleurs le post de moumni a éveillé en moi une question: y'a t"il une théorie qui dit qu'on peut approximer n'importe quel solution par une combinaison linéaire d'autre fonction? oui mais alors, comment on sait que telle ou telle fonctions feront l'affaire ?
Je te remercie martini_bird pour ta démonstration elle marche aussi ici avec les polynomes.
Je ne sais pas pourquoi le développement se limite à deux termes, peut être est-ce suffisant ici.
L(u) que je voulais noter désigne juste l'application linéaire formée par les deux dérivées partielles. Ce n'est pas la transfo de laplace.

De mon côté, en reprenant l'expication incertaine que j'ai trouvé pour P1, que j'évoque dans mon premier post
et que rvz a commenté, je me dit actuellement avec la même fébrilité pour P2, que
a) P2 étant donc linéairement indépendante de P1, il ne peut être construit par (lambda_1 et 2 sont des scalaires) . P1(x²+y²) semble respecter cette règle et, La réutilisation de P1 par produit permet d'annuler la fonction P2 pour respecter ainsi les conidions limites.

En dernier lieu, j'ai essayé de m'instruire un peu quand aux polynomes orthogonaux (legendre, hermitte,jacobi, lagrange..) aucune forme ne correspond.

Merci de me lire, manup

edit : de plus (x²+y²) est la plus simple des fonctions deux fois derivable exigée pour le pb

[invite4793db90]

D'ailleurs le post de moumni a éveillé en moi une question: y'a t"il une théorie qui dit qu'on peut approximer n'importe quel solution par une combinaison linéaire d'autre fonction? oui mais alors, comment on sait que telle ou telle fonctions feront l'affaire ?

Ben je pense à l'analyse harmonique : toute (ou presque ?) fonction continue définie sur un segment est limite de sa série de Fourier.

L(u) que je voulais noter désigne juste l'application linéaire formée par les deux dérivées partielles. Ce n'est pas la transfo de laplace.

Euh c'est la différentielle (la partie linéaire) de u ? Mais C n'est pas une matrice...

Cordialement.

[invited877b256]

rebonsoir et merci tjs,



si tu préfères,



c'est le Laplacien scalaire (à deux dim) que l'on note aussi (cf titre du thread "équation de poisson")

[invite4793db90]

Okay !!!

Je pensais que tu parlais (cf. ton premier message) d'un système de deux équa diff ! (d'où le fait que je me demandais bien ce que pouvais être ton ...)