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équation de Poisson



  1. #1
    trajan

    équation de Poisson

    bonjour à tous

    voilà: on considère l'équation de poisson à trois dimensions ( le domaine est l'espace infini) auquelle on associe une condition au limite de dirichlet imposant que la fonction f(x,y,z) est nulle quand x,y,z tend vers l'infini.
    La question est de savoir si une telle fonction f(x,y,z) satisfaisant cette condition limite peut également satisfaire l'équation de poisson ou faut il obligatoirement que le terme inhomogène soit nul (équation de laplace)?

    -----


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  3. #2
    Jean-M69

    Re : équation de poisson

    Je m'excuse, mais le problème est mal posé : il faut rappeler ce qui est entendu par équation de Poisson. Le laplacien de f est égal à un deuxième membre, à désigner.
    Dans l'équation standard, ce deuxième membre est constant, et il n'y a alors pas de solution en milieu infini.
    Si on limite ce deuxième membre, la solution existe, et c'est un problème possible que d'en évaluer les propriétés qui assure l'existance d'une solution.

  4. #3
    trajan

    Re : équation de poisson

    bonjour,
    oui en effet je ne suis pas très clair alors voilà:
    On est dans l'espace à 3D spatiale, et on y défini une fonction . cette fonction obéi au départ à l'équation

    avec
    on intégre pour avoir
    (1)
    le point important est que cette fonction W(x,y,z) est inconnue et a priori arbitraire en ce sens qu'elle apparait suite à une intégration par rapport au temps.
    la fonction obéi à une condition importante, on exige qu'elle s'annule à l'infini:
    (2)
    c'est essentiel.

    Bon alors le problème est le suivant d'un côté il est évident que si la fonction arbitraire W(x,y,z) est nulle on peut trouver une fonction y(t,x,y,z) qui obéi à la condition et qui vérifie l'équation (1).
    D'autre côté si on dit que W(x,y,z) est différent de zéro
    la question est: existe t'il une solution pour y(t,x,y,z) de l'équation (1) vérifiant la condition (2)?

  5. #4
    rvz

    Re : équation de poisson

    Salut,

    Pour résoudre ça, il faudrait utiliser Lax Milgram. Le problème est que a forme bilinéaire associée à ton opérateur n'est pas coercive, parce que tu travailles sur un domaine non borné.
    Quelques remèdes possibles :
    Peux t-on se ramener à un domaine borné ?
    Peux -t-on obtenir une forme bilinéaire coercive en jouant sur le temps ? Regarde peut-être ce qui se passe pour les fonctions exp(-t) y...

    __
    rvz

  6. #5
    Jean-M69

    Wikipedia

    Bonjour.
    J'ai essayé une vague solution en coordonnées sphériques, en supposant que le deuxième membre ne dépend que de r.
    Si cette fonction tend vers 0 plus rapidement que 1/r^2, il y a une solution en intégrant deux fois.
    Dans le cas plus général, il y a quelques indication dans le site http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Poisson
    plutot vers la fin de la rubrique.
    Par curiosité, je suis tombé sur l'équation de Poisson-Boltzmann, qui est un cas particulier intéressant.

    Bonne pèche pour les différentes tentatives

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    edpiste

    Re : équation de Poisson

    Il existe une solution dite fondamentale de l'équation de Poisson : avec à partir de laquelle on peut construire toutes les autres.
    Si la fonction satisfait des hypothèses raisonnables, par exemple si est une fonction régulière qui tend vers 0 assez vite à l'infini, alors



    vérifie et tend vers 0 à l'infini.

    Par contre, si par exemple , il n'existe pas de solution du problème qui tend vers 0 à l'infini.

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