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Statistiques et Poisson...



  1. #1
    kinette

    Bonjour à tous,
    Voilà, je réalise encore ma nullité en maths et je regrette maintenant de n'avoir point été plus assidue en cette matière (ou plutôt d'avoir toujours compris mais appris le moins possible).

    Voici mon problème je cherche à construire un modèle où j'ai des bestioles D qui ont un probabilité fixe d'être mangées par d'autres bestioles P à tout instant. La probabilité pour les A d'être mangées entre l'instant t0 et l'instant t suit donc une loi de Poisson ( Nt=N0 e puissance (-kt).
    Mon problème est de savoir combien de temps "en moyenne" vont survivre les bestioles entre le temps t0 et le temps t (quelle est l'espérance de ce temps)... puis voilà là je bloque lamentablement...

    Si quelqu'un peut m'aider il aura ma reconnaissance... bon pas éternelle, je ne pense pas l'être, mais bon une très forte reconnaissance...

    K.

    -----
    Nomina si nescis, perit et cognito rerum.

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  3. #2
    vince

    hello

    bon, je te donne MA solution (je ne serai pas vexé si on me contredit because je suis pas sûr à 100% ni même à 50% :? )

    Ta loi qui donne la proba d'être bouffé par un predateur donne en fait la probabilité de mourir, on cherche donc une esperance de vie..
    Le pb donc c'est de connaître l'esperance de la loi de poisson

    l'esperance est donnée par

    E(x)=integrale(x.p(x),0-->infinie)

    en l'occurence ça nous donne E(x)=N0/k²

    bon voilà
    ce qui me console c'est que si je dit une connerie tu ne pourras pas me detester eternellement...

  4. #3
    kinette

    Hello Vince!!!

    ce qui me console c'est que si je dit une connerie tu ne pourras pas me detester eternellement...
    LOL!!!
    Mais non, puis même pas transitoirement

    Bon effectivement je recherche bien une espérance de vie... mais sur un temps donné et pas de 0 à l'infini. Bon je sais c'est pas simple: si on considère tous les individus "morts" sur une période de 0 à t, je veux savoir quelle a été leur durée de vie moyenne (donc en fait ça élimine tous ceux qui seraient morts après cette date).

    Donc d'après ce que tu me dis ça seraît l'intégrale de 0 à t qu'il faudrait faire... bon je vais de ce pas prendre un crayon et un brouillon...

    K, qui aimait pourtant bien les probas...
    Nomina si nescis, perit et cognito rerum.

  5. #4
    vince

    J'ai un doute soudain : je me demande si ça a un sens de calculer une esperance sur une durée finie...

    Et puis il y a des choses qui m'échappent dans tes hypothèses : ta loi de proba est-elle une loi de survie ou de decès??


    V qui préfère quand même l'algèbre...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    kinette

    Hello vince,

    Bon je vais expliquer mon problème (essayer de mieux expliquer):

    J'ai des drosophiles qui sont attaquées par de méchants parasitoïdes (enfin ça peut être ce qu'on veut comme bestioles ça ne change rien au problème).
    Le parasitoïde arrive sur le lieu où est la larve mais doit ensuite réussir à la localiser.
    Je sais que mes bestioles ont une certaine chance d'être parasitées à chaque instant. Du coup la probabilité d'avoir été parasité à l'instant t suit une loi de poisson (plus le temps passe et plus on a de chance d'avoir été parasité, à un temps t infini la probabilité de parasitisme est de 1).

    Mais en fait lorsqu'un parasitoïde est sur le lieu où il sait qu'il y a une larve il peut choisir de partir au bout d'un certain temps (s'il n'a pas réussi à la trouver). Donc le temps de la recherche de la drosophile ne sera pas infini mais va dépendre du temps que le parasitoïde est prêt à investir pour essayer de trouver la pauvre drosophile.
    Donc, si mon parasitoïde choisit de rester au maximum un temps t, il ne tuera aucune drosophile après un temps supérieur à t, mais par contre il va en tuer avec un temps inférieur à t (le moment où il tuera chaque droso dépendant d'une loi de poisson).
    Ce qui m'intéresse est de faire une estimation du temps que le parasitoïde va passer en moyenne à essayer de trouver une drosophile, sachant qu'il a décidé d'y passer au maximum t...

    Grrr, c'est horrible au départ ça me semblait simple et je me sens maintenant incapable de me dépatouiller de cette histoire...

    K.
    Nomina si nescis, perit et cognito rerum.

  8. #6
    Yoyo

    ben pour en avoir une idee, il suffit que tu prennes le temps mis par tes parasites pour contaminer la moitie de ta population de droso...ca te donnera la demi vie d'infectieusite, un peu comme une DL50 non?

    Yoyo

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  10. #7
    Chris77

    Bon je vais sortir mes cours de proba demain (il est tard là...) et je vais essayer de te répondre !

  11. #8
    kinette

    Hello Yoyo,
    C'est pas au niveau exp. qu'il y a une problème!!!
    Je souhaite modéliser le comportement de mes bestioles afin de rechercher quel est le temps de recherche optimal pour les parasitoïdes et voir si ça colle avec ce que j'ai déjà obtenu expérimentalement... voilà!

    K.
    Nomina si nescis, perit et cognito rerum.

  12. #9
    vince

    J'ai mis une copine statisticienne sur le coup, elle m'a promis d'y jeter un oeil... dès qu'elle aura le temps :?

  13. #10
    Chris77

    En fait Kinette, il n'est pas possible de modéliser ton problème si on ne connait pas le paramètre lambda de la loi du Poisson. Cet paramètre est justement indispensable pour la loi du Poisson ! Dans ton problème, ce paramètre est sans doute le nombre de drosophiles dévorées en un temps donné, càd un chiffre donné... Ou alors il s'agit de modéliser mais avec ce paramètre inconnu, non ?

  14. #11
    Chris77

    Une dernière question : pourquoi la loi de Poisson ? Tu es sûre qu'il s'agit de cette loi ou ca ne serait pas une autre loi plus conforme à ton problèmes ? Il existe plusieurs lois statistiques pour cerner tel problème, mais là est la difficulté...

  15. #12
    Marc

    Salut K.,
    Je ne comprend pas bien ce que tu entends par loi de Poisson (surtout que ta proba d'être mangée entre t0 et t semble être une fonction décroissante !!).
    Voilà ma façon de voir les choses :

    1) En terme d'évolution :
    Selon moi, l'équation suivie par ta population de bestioles suit la même loi que l'évolution d'une espèce radioactive qui se désintègre, à savoir :
    dN/dt = - k N(t)
    (k est ici le nbre de mort par seconde et par bestiole).
    C'est logique : plus il y a de bestioles [N(t)], plus le nombre qui va être mangé [-dN/dt] est élevé ; en fait quand ils sont nombreux, ils sont facilement trouvés par les prédateurs donc le nombre de bestioles mangées est plus élevé.

    On résoud : N(t) = N0 exp(-kt) (1)


    2) En terme de probabilité :
    p(être mangé entre t et t+dt) = [N(t) - N(t+dt)]/N0 = - 1/N0 * dN/dt * dt
    Or p(être mangé entre t et t+dt) = p(être mangé à t) * dt

    Donc : p(être mangé à t) = -1/N0 * dN/dt (2)


    Finalement (1)+(2) :
    p(être mangé à t) = k exp(-kt) = p(t)

    C'est bien logique car p(t) est décroissante, et int(t=0..inf, p(t)) = 1


    3) Réponse au problème de l'espérance de vie :
    E = moyenne de l'instant ou les bestioles sont mangées
    E = int(t=0..inf, t * p(t))
    E = 1/k

    C'est bien logique car plus k est élevé, plus l'éspérance de vie est faible

    Je décline toute responsabilité en cas d'erreur !!
    Marc

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  17. #13
    kinette

    Bonjour Marc,
    Tu as presque répondu à ma question... sauf que la moyenne qui m'intéresse n'est pas l'espérance de vie moyenne, mais l'espérance de vie si on considère un intervalle donné: en fait je souhaite éliminer de mon calcul d'espérance de vie tous les individus ayant vécu plus d'un temps t donné (parce que mon prédateur n'attend pas jusqu'à l'infini que les proies lui tombent entre les pattes, mais laisse tomber au bout d'un moment). Bien sûr si t va vers l'infini on retombe sur 1/k.

    Donc dans mon histoire la solution serait l'intégrale de 0 à t de (t*exp(-kt))... (?)

    En tout cas merci d'avoir cherché pour moi!
    K.
    Nomina si nescis, perit et cognito rerum.

  18. #14
    Marc

    Citation Envoyé par kinette
    Donc dans mon histoire la solution serait l'intégrale de 0 à T de (t*exp(-kt))... (?)
    Oui car si t>T, la proba d'être mangé devient nulle (p(t) = 0).
    Donc :
    E = int(t=0..T, t*k*exp(-kt))
    E = 1/k * [1 -exp(-kT)*(1+kT)]

    Marc

  19. #15
    kinette

    Super!!!!


    Merci beaucoup!!!!
    Tu as donc gagné ma reconnaissance presque éternelle!!!! (non je ne pense pas être éternelle moi-même alors...).


    :P

    K.
    Nomina si nescis, perit et cognito rerum.

  20. #16
    kinette

    Hello,
    Euh, finalement apparemment tu n'es pas d'accord avec une personne qui m'a fourni cette solution:

    E= 1/k * (1- exp (- kt))...

    Ben voilà je sais plus quoi penser...

    Dans son calcul il soustrait T* exp (- k T)...


    Pfff, ça me dépasse...

    K, qui te remercie quand même toujours!
    Nomina si nescis, perit et cognito rerum.

  21. #17
    Marc

    Zut alors ...

    Je ne peux pas garantir que mon calcul est juste, mais en tout cas le résultat qu'on t'a proposé me semble très bizarre car normalement, en dérivant E(T) par rapport à T, on doit retomber sur t*p(t). Or là cela donne p(t) = 1/t * exp(- kt). C'est sur le 1/t qu'on n'est pas d'accord.

    Il faut dire que ce 1/t j'ai du mal à voir ce qu'il vient faire dans sa loi de probabilité ... Je ne pas vraiment en dire plus sans voir son raisonnement :? .

    Marc

  22. #18
    Marc

    Citation Envoyé par Marc
    Il faut dire que ce 1/t j'ai du mal à voir ce qu'il vient faire dans sa loi de probabilité ... Je ne pas vraiment en dire plus sans voir son raisonnement :? .
    D'après le résultat que tu me donnes, le calcul doit venir de Int[t=0..T, exp(- kt)].

    En fait si je vois l'erreur : dans le calcul de l'espérance, ton collègue a oublié de multiplier par la valeur de la variable aléatoire dont il calcule l'espérance.

    En effet, si X est une variable aléatoire, alors son espérance est :
    E(X) = Int[x=0..inf, x*p(X=x)]

    Pour nous, la variable aléatoire dont on calcule l'espérance est le moment ou la bestiole est mangée : c'est t
    Il faut donc calculer l'intégrale de t*p(t) et non de p(t) !!

    Héhé, faut pas faire confiance à ces gens là .

    Marc, qui ne se laisse pas décourager ...

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  24. #19
    kinette

    Hello,
    Bon je te copie ce qu'il m'a écrit:

    Quand le temps de recherche ne dépend pas du temps déjà
    utilisé pour la recherche, la distribution du temps total de recherche
    est

    F(t) = 1 - exp(-t/M)

    F(t) est la probablité que le prédateur trouve sa proie dans
    l'intervalle de temps [0,t]. M est la moyenne (espérance de la
    distribution).

    La densité de la distribution est

    f(t) = 1/M exp(-t/M)

    Quand le prédateur s'en va après avoir cherché un temps maximal T.
    Il s'agit d'une distribution combinée.

    La partie avant T à une densité

    f(t) = 1/M exp(-t/M) 0<=t<=T

    et le reste est concentré dans une masse de probabilitée ponctuelle
    (la probabilité que le prédateur ne trouve pas la proie avant T) de
    exp(-T/M) concentrée au point T.

    L'espérance du temps que le prédateur met en cherchant au maximum T
    unités de temps est donc

    T
    E = Integrale t * 1/M * exp(-t/M) dt + T*exp(-T/M)
    0


    = M*(1-exp(-T/M))


    (Dans la théorie de la distribution exponentielle on parle de la
    distribution F(t) = 1 - exp(-lambda*t) et de la densitée
    f(t)=lamba*exp(-lamba*t). lambda correspond à 1/M dans la forme que
    j'ai présentée).
    Bon je relis mais je comprends toujours pas... apparemment il ajoute le cas où l'événement se produit à T (???)

    K, perplexe... :?
    Nomina si nescis, perit et cognito rerum.

  25. #20
    Marc

    Citation Envoyé par kinette
    Bon je relis mais je comprends toujours pas... apparemment il ajoute le cas où l'événement se produit à T (???)
    Oui il ajoute ce cas là. Je ne vois pas du tout pourquoi.
    Mais bon, j'imagine qu'il doit y avoir une raison. J'y réfléchi à tête reposée, parce que là devant un écran d'ordinateur .

    Sinon sur tout le reste on est d'accord (sauf que 1/M = k), et c'est déjà ça (ouf je suis pas trop nul).

    Marc

  26. #21
    doudy

    Re : Statistiques et Poisson...

    salut kinette!!!
    moi c doudy et je suis étudiant en prepa, en mpsi plus précisément et j'ai un exposé a faire sur un sujet de math!! moi j'ai choisi un expo sur les probabilités et mon prof m'a dit que ce serait pas mal de trouver des exemples d'application, notamment sur les désintégrations et les trucs dans le genre!!

    je cherchai un pe partout et je sui tombé sur ce topic de méchantes bestioles et il s'avere que ce modele colle pile poil avec une de ces applications que je veux étudier!! Malheureusement dans ce topic, je n'est pas tout compris mais j'ai quand même cru comprendre que tu avait réussit a trouver quelque chose et j'aurais bien voulu savoir si tu pouvait un peu m'expliquer le résultat et pourquoi pas m'envoyer des documents sur le sujet, ce qui pourrait vraiment m'aider vu que je ne trouve rien d'autre d'interessant ailleur sur internet!

    merci d'avance!!!

  27. #22
    Eric78

    Re : Statistiques et Poisson...

    Il y a pas mal d'info sur le net: cherches "modèle proie prédateur" sur google. C'est un bon sujet de tipe puisque tu peux faire des modélisations informatique, voir biologique, mais ce n'est pas facile pour un mpsi (ma soeur en prépa bio a lutté pour obtenir des résultats exploitables avec le matos des labos de l'ENS...) tout en jouant de manière théorique avec les équa-diff. Mais c'est aussi un sujet choisit régulièrement...

    Eric
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  28. #23
    doudy

    Re : Statistiques et Poisson...

    d'accord je vais essayer!! merci beaucoup

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