Séries de Fourier, quelques questions

[invite6db91fef]

Bonjour,
Dans mes exos, en gros on me demande de développer des fonctions en séries de Fourier, avec des fonctions 2Pi-périodiques.

On commence donc à voir si la fonction est paire ou impaire et à partir de là ;
Si f est paire, les sont nuls
Si f est impaire, les sont nuls

Des fois, l'exercice s'arrête là et on écrit la fonction en séries de Fourier en fonction des (ou ) mais des fois on calcule les et les (ou et les ), je ne comprends pas pourquoi.


EXEMPLE 1
f(x)=x²
2Pi-périodique, définie sur [ ], paire

Les sont nuls, on calcule donc (je ne vous mets pas les calculs, ils sont bons et le pb n'est pas la en fait...)


Et après dans cet exercice, on dit directement

EXEMPLE 2
f(x)=|x|
2Pi-périodique, définie sur [ ], paire

La encore les sont nuls. On a donc :


Et là je ne vois pas pourquoi, on calcule les et les , donc les avec respectivement n pair et n impair.

Les résultats sont :


Et alors, on écrit



Pourquoi on calcule les et les ?
Pourquoi écrit-t-on f(x) avec les et pas les après tout ?
Pourquoi on écrit pas directement et f(x) en fonction de ceci comme dans l'ex. 1 ?

J'espère que j'ai été clair
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[doryphore]

A mon avis, dans la perspective d'un calcul informatique à partir de la formule, il est inutile de faire calculer 0 à l'ordinateur une fois sur deux.
De même, il est tout de même plus précis de n'écrire dans la somme que les termes non nuls.
Tu imagines une somme écrite ainsi: 1+0+2+0+3+0+4+0+5+0+6+...

[invite6db91fef]

Oui, d'accord mais si le n'avait pas été nul, comment aurait-on écrit f(x) ?

Et puis, pourquoi dans l'exemple 1 on ne les calcule pas ?

[doryphore]

Eh bien, on n'aurait pas cherché à calculer a_2n ni a_2n+1 et on aurait fait exactement comme dans l'exercice 1.
Là c'est uniquement car on peut éliminer un terme sur 2 que l'on recherche a_2n et a_2n+1, sinon ça n'a que peu d'intérêt.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6db91fef]

Je ne vois pas en quoi dans l'exemple 2 on peut calculer un terme sur 2 et pas dans l'exemple 1. :/

Est-ce l'histoire de cos(n Pi)=(-1)^n que je n'aurais pas compris ?

[doryphore]

Dans le 1, tu as cte* (-1)^n en facteur du cos(nx) donc aucun terme ne s'annule...

Dans le 2, tu as cte*((-1)^n-1) en facteur du cos(nx), donc comme -1^n vaut 1 une fois sur 2, ((-1)^n-1) vaut 0 une fois sur 2...

[invite6db91fef]

Dans le 1, tu as cte* (-1)^n en facteur du cos(nx) donc aucun terme ne s'annule...

Dans le 2, tu as cte*((-1)^n-1) en facteur du cos(nx), donc comme -1^n vaut 1 une fois sur 2, ((-1)^n-1) vaut 0 une fois sur 2...

Ok, ça y est j'ai compris (même si par contre je ne vois pas d'histoire de facteur et je ne sais pas où tu vois "cte*((-1)^n-1) en facteur du cos(nx)" dans le 2 ).

Mais ouais, j'ai pigé en tout cas. En fait c'est une histoire d'"optimisation" de l'écriture de f(x) comme tu le disais, en quelque sorte.

Merci beaucoup en tout cas

[Scorp]

J'ai une petite question en complément (si ca ne gène pas bien sur...)
Voila, moi j'ai bien compris pourquoi on calculait a2n et a2n+1. Ma question : Est-ce qu'on pouvait prévoir que les a2n était nul au vu de la fonction de départ (comme on fait le par exemple en disant que f paire, donc bn=0) ?
En d'autres termes, peut-on prévoir que les a2n, ou a2n+1 ou b2n ou b2n+1 vont être nuls sans faire les calculs ?