Quelques questions à propos des séries ...

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai quelques questions à propos des séries, et je n'ai malheureusement pas réussit à trouver les réponses dans mon livre d'analyse donc je me suis permis de les posées ici.

Je précise que ce n'est pas vraiment en rapport avec mes cours (nous n'avons pas encore vu les séries et on ne les verras pas cette année) mais que des séries sont néanmoins apparues dans quelques un de mes exercices ce qui m'a amené à me poser ces questions :

Soit deux séries (donc une somme infinie de terme) :

A = A1 + A2 + A3 + ...

B = B1 + B2 + B3 + ...

Où A1,A2,A3 ... et B1,B2,B3 ... sont des nombres rationnels (pas spécialement entiers ni positifs)

- 1) Est-ce que l'addition/soustraction de séries à un sens ?

En d'autres termes est-ce que je peux définir (A +B) = A1 + B1 + A2 + B2 + A3 + B3 + ...

- 2) Est ce que l'associativité est conservée ?

Je pense que la réponse est NON mais je ne suis pas sûr.

Donc en fait si je définit A' = (A1 + A2) + (A3 + A4) + (A5 + A6) + ... est ce que cette série sera forcément différente de A (définie ci dessus) ?

- 3) La multiplication d'une série par un scalair a elle un sens ?

Puis-je dire (par exemple) que 2A = 2A1 + 2A2 + 2A3 + ...

Voilà, si vous pouvez me fournir une référence ou des éléments de réponse ce serait bien gentil

merci
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[invitef591ed4b]

Note que et tu as la réponse à tes questions ...

1) Soient et . Alors :

.

2) Je trouve bizarre d'appeler ça "associativité" ... Disons que si à partir d'une série , tu définis une nouvelle série :



alors effectivement c'est une série différente. Par exemple, considère la série et la série . La première série ne converge pas, alors que la seconde oui ...

3) Évidemment que ça a un sens : . Tout cela parce qu'on travaille sur le corps des réels, c.-à-d. qu'on dispose de la distributivité.

[invitea3eb043e]

- 2) Est ce que l'associativité est conservée ?

Je pense que la réponse est NON mais je ne suis pas sûr.

Donc en fait si je définit A' = (A1 + A2) + (A3 + A4) + (A5 + A6) + ... est ce que cette série sera forcément différente de A (définie ci dessus) ?

L'associativité est assurée si la série est absolument convergente, c'est à dire que la série abs(An) converge, ce qui n'est pas le cas dans le contre-exemple cité par Sephi.

[invitedf667161]

Houla.

Il faut faire gaffe, une série n'est pas un objet mathématiques au même sens qu'un nombre réel par exemple.
Tu ne peux pas simplement considérer l'ensemble des séries et essayer par exemple d'y mettre une structure de groupe ou même d'espace vectoriel comme j'ai l'impression que tu es en train de le faire.

De plus il ne faut pas confondre la série, que l'on note par convention et sa somme (limite) éventuelle.

Au départ une série, notée je le redis c'est, pour une suite donnée, une suite de couple:



Rien à voir avec sa somme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Houla.

Il faut faire gaffe, une série n'est pas un objet mathématiques au même sens qu'un nombre réel par exemple.
Tu ne peux pas simplement considérer l'ensemble des séries et essayer par exemple d'y mettre une structure de groupe ou même d'espace vectoriel comme j'ai l'impression que tu es en train de le faire.

C'est vrai que ça m'a effleuré l'esprit mais en fait ce n'était pas le but de mes questions non

En fait ça provient de la fausse démonstration que j'ai reçue récemment : http://forums.futura-sciences.com/th...6035-6-18.html

Il est clairement apparu qu'on ne pouvait PAS additioner les séries (même si je ne m'en suis pas rendut compte tout de suite).
Mais malgré tout j'avais remarqué dans certaines références de math (livres, cours ...) que l'auteur travaillait avec des séries (additionnait, multipliait ...) et donc je me suis dit que dans certains cas c'était permis et dans d'autres non.

Je pense avoir comprit que l'addition/soustraction (et la multiplication scalaire ?) sont permises SI ET SEULEMENT SI la série converge. C'est bien cela n'est ce pas ?

merci