Séries de Fourier

[invite191bf22b]

Bonjour

j'ai eu un petit cours de fin de semestre sur les séries de Fourier (le genre vite fait et pas trop bien fait).

Le cours portait sur les séries de Fourier sur l'espace des fonctions continues de période 2pi, noté C(T).

Visiblement, la convergence vers la fonction f de la somme partielle de Fourier est un probleme délicat. Est ce que la convergence n'a pas forcément lieu pour une histoire de complétude de l'espace ou bien est ce autre chose?

Enfin, la question que je me pose c'est, est ce que sur C(T) la convergeance a toujours lieu vers f. C'est ce que j'ai cru comprendre mais je n'en suis pas sur. Faut-il aussi une condition sur la dérivabilité de f?

Merci de vos réponses.
Julien
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[invite4ef352d8]

tous depend convergence en qu'elle sens ^^


la convergence en moyenne quadratique à toujours lieux.

on la convergence simple si la fonction est C1 par morcaux. (sauf au point de discontinuité, ou la serie de fourier vers (f(x+)+f(x-))/2 ou f(x+) et f(x-) désigne les limites a gauche et a droite de f en x...)

on a la convergence Normale (uniforme) si la fonction est continu et C1 par morcaux.

[invite17c3613d]

Bonjour....
en effet ceci revient au mode de convergence auquel nous nous interessons.
La convergence en moyenne quadratique est assurée pour toute f de l'espace C(T); pour la convergence normale il suffit en plus que f soit continue et C1 par morceaux; pour la convergence simple on a le théorème de Jordan-dirichlet....

[invite191bf22b]

Merci, oui en effet, j'ai pas précisé, je parlais de la convergence simple.

Pour la convergence simple, la continuité n'est pas nécéssaire? la continuité par morceau est suffisante.

Enfin je vais surtout aller jetter un coup d'oeil au théorème de Dirichlet. Je n'en ai meme pas entendu parlé dans un cour sur les séries de Fourier! Vive le dernier chapitre des programmes!

En tout cas je vous remercie de vos réponses.

++

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

"la continuité par morceau est suffisante.", ouai, enfin c'est C1 par morcaux qu'il faut pour avoir la convergence simple. (enfin, pour etre dans le cas d'application du th de Dirichlet, il y a bien sur de tres nombreux cas de convergence simple vers une fonction pas C1...)