exponentielle de matrice

[invitebb921944]

Bonjour tout le monde !
J'ai quelques petites questions pour vous...

Je dois diagonaliser la matrice suivante pour calculer son exponentielle (exp(tA) en fait) :

Evidemment elle ne se diagonalise pas, je tente donc de la trigonaliser et comme d'habitude, je galère pour trouver le second vecteur propre de la valeur propre 4...

J'aimerais que quelqu'un m'explique une fois pour toute comment on trouve ce deuxième vecteur propre... Suffit-il de prendre un vecteur quelconque qui ne soit pas combinaison linéaire des deux autres ?

Ceci dans le but de résoudre le problème de Cauchy suivant :



On me dit dans la question suivante de résoudre le problème inhomogène :



J'imagine qu'il faut utiliser la question précédente mais j'aimerais que vous m'expliquiez la méthode.

J'ai de plus la matrice :



Je dois calculer son exponentielle, j'écris :

exp(B)=I2+B (puisque B^k=0 pour k>1, k entier)
J'aimerais savoir si c'est juste.
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[invite35452583]

Pour la matrice A, on a trivialement le polynôme caractéristique est égal à +/-(X-4)²(X-1), on sait donc que l'espace propre associée à la valeur propre 4 est de dimension 2. Mais cela n'est pas nécessairement le noyau de A-4Id mais est nécessairement le noyau de (A-4Id)². A-4Id est de rang 2, il faut donc calculer le noyau de (A-4Id)² et en exhiber un complémentaire au noyau de ker(A-4Id). En bref, on a u tq A(u)=4u et v tq A(v)-4v est dans <u> sans être nul (u=A(v) convient donc et avec ce choix le calcul de l'exponentielle en devient moins pénible).

Pour exp(B), c'est tout bon (le calcul des exponentielles des matrices nilpotentes est vraiment facile).

[invitebb921944]

Rebonjour !

Merci beaucoup ca marche à merveille !!!!

[invitebb921944]

C'est encore moi !
J'ai un exemple ou ca ne fonctionne pas et je ne sais pas comment faire :



Ici, det(A-xI)=(x-2)²

AX=2X implique x=y

Mais dans ce cas, (A-2I)²=0
Argh. Comment dois-je fais pour trouver mon deuxième vecteur propre et pourquoi cela ne fonctionne t'il pas ?

Merci d'avance !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

C'est encore moi !
J'ai un exemple ou ca ne fonctionne pas et je ne sais pas comment faire :



Ici, det(A-xI)=(x-2)²

AX=2X implique x=y

Mais dans ce cas, (A-2I)²=0
Argh. Comment dois-je fais pour trouver mon deuxième vecteur propre et pourquoi cela ne fonctionne t'il pas ?

Merci d'avance !

Mais si ça fonctionne.
ker(A-2Id)={(x;y) ; x=y}
ker((A-2Id)²)=R² Pas besoin de se fatiguer on prend v presque quelconque (il faut juste éviter qu'il soit dans le sous-espace précédent). v : (1;0) par exemple.
On sait que (A-2Id)²(v)=(A-2Id)((A-2Id)(v))=0 Autrement dit u=(A-2Id)(v) est dans ker(A-2Id). (Et en effet u : (-1;-1))
Dans la base (u;v) la matrice s'écrit :

Je te laisse prendre un autre choix pour v (je pense qu'il y a un peu mieux pour écrire la matrice de passage)

[invitebb921944]

Ah bah oui lol
Merci bien pour ton aide.