exponentielle d'une matrice, montrer la surjéctivité

[invite6909706f]

Bonjour,

J'ai quelques difficultés de départ pour une démonstration. Je dois montrer que pour toute matrice A appartenant à GLn(C), il existe un B appartenant à M(nxn,C), tel que:

exp(B)=A

Plus généralement, je dois monter que l'application:

exp: M(nxn,C)-->GLn(C)
A := exp(A)

est surjective.


Cette application n'est malheureusement pas linéaire, ce qui ne facilite pas sa démonstration.

Si quelqu'un pourrait m'aider, ou du moins me donner un indice de départ pour démontrer cette affirmation.

Merci,

A+
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[inviteb0df2270]

As-tu fait de l'analyse complexe ?
Le théorème de Picard pourrait répondre à ta question

Sinon, http://sebastien.pellerin.free.fr/fi...agreg/expo.pdf proposition 2.11 mais ce serait dommage de lire la démonstration directement comme ça !

[invited5b2473a]

Une méthode est de chercher un antécédent de B par exp. Pour cela, tu sais que c'est "ln". Or ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+.....
Donc tu va écrire B=I+A et montrer que "lnB"=A-A²/2+A^3/3+....

[invite3f53d719]

Il y a peut être moyen d'utiliser le théorème d'inversion local, vu que cette application est C-infinie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

Remarque, la méthode que j'ai présentée s'applique aussi à d'autres fonctions (comme pour la racine carrée par exemple). Elle a l'avantage de donner un antécédent.

[invite6909706f]

Merci pour vos réponses, ça m'a pas tant l'air facile pout mon niveau.

Je vais me concentrer là dessus