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automorphismes orthogonaux



  1. #1
    sensor

    automorphismes orthogonaux


    ------

    Bonjour.
    Comme je n'ai pas encore de recul sur mon cours d'algèbre linéaire, j'aimerais que vous me cofirmiez la résolution de l'exercice suivant :

    Voici l'énoncé :
    Soit S€Mn(R) (ensembles des matrices carrés d'ordre n réel) telle que
    (transposée)S=-S et I+S€ GLn(R) (ensembles des matrices inversibles d'ordre n).
    On pose T=(I-S)(I+S)^-1
    Montrer que I-S€ GLn(R) et que T€ O(n) (ensemble des matrices orthogonales d'ordre n).

    Ma réponse

    t = transposée

    comme t(I-S)=I+S, on a det (I-S)=det(I+S) car det(tS)=det S
    Comme I+S€ GLn(R) det (I+S)non nul donc det(I-S) non nul.
    D'où I-S€ GLn(R)

    Pour la 2ème question: je trouve
    t(T)=((I-S)^-1)*(I+S)
    t(T)*T=((I-S)^-1)*(I+S)*(I-S)*((I+S)^-1)= In
    T*t(T)= (I-S)*((I+S)^-1)*((I-s)^-1)*(I+S)=In.
    Comme t(T)*T=T*t(T)=In on a T€O(n).
    C'est juste ??

    -----

  2. #2
    sensor

    Re : automorphismes orthogonaux

    c'est bon ou pas ??

  3. #3
    GuYem

    Re : automorphismes orthogonaux

    Ca m'a l'air bon.

    Quand tu transposes T, il faut justifier que la transposition et l'inverse sont des opérations qui commutent ; mais je pense que cela doit figurer dans ton cours.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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