Bonjour, voici l'énoncé :
Soit u un automorphisme orthogonal de E euclidien et v = u - id.
Montrer que Ker v = Orthogonal ( Im v)
Soit :
Montrer queconverge, pour tout vecteur x, vers le projecté orthogonal de x sur Ker v.
J'ai réussi a montrer la premiere etape, mais pour la suite, je trouve un truc bizarre.
En effet d'apres la premiere question, je deduis que v est un projecteur orthogonal car E = Kerv + (directe orthogonale) Imv.
Je décompose alors : x = x1+x2, et le but de la question est donc de montrer que la suite tend vers x1.
est alors la somme de deux sommes. La premiere vaut :
car u(x1)=x1 (x1 etant dans Kerv)
La seconde devrait donc tendre vers zero pour que le tout tende vers x1. Or :
je pose x2 = v(a) = u(a)-a car x2 est dans Im v.
Enfin, v etant une projectio orthogonale, v²=v donc u²-u=2u-2id. J'obtiens alors :
u²(x2)=2*x2, puis, par récurrence u^k(x2)=2^k x2.
C'est la que c'est bizarre : la 2eme somme devient alors une somme géométrique divergente (raison 2). Ou se cache l'erreur ??
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