Exo Projecteurs Orthogonaux

[invite42abb461]

Bonjour, voici l'énoncé :
Soit u un automorphisme orthogonal de E euclidien et v = u - id.
Montrer que Ker v = Orthogonal ( Im v)
Soit :



Montrer que converge, pour tout vecteur x, vers le projecté orthogonal de x sur Ker v.

J'ai réussi a montrer la premiere etape, mais pour la suite, je trouve un truc bizarre.
En effet d'apres la premiere question, je deduis que v est un projecteur orthogonal car E = Kerv + (directe orthogonale) Imv.

Je décompose alors : x = x1+x2, et le but de la question est donc de montrer que la suite tend vers x1.

est alors la somme de deux sommes. La premiere vaut :

car u(x1)=x1 (x1 etant dans Kerv)

La seconde devrait donc tendre vers zero pour que le tout tende vers x1. Or :
je pose x2 = v(a) = u(a)-a car x2 est dans Im v.

Enfin, v etant une projectio orthogonale, v²=v donc u²-u=2u-2id. J'obtiens alors :

u²(x2)=2*x2, puis, par récurrence u^k(x2)=2^k x2.

C'est la que c'est bizarre : la 2eme somme devient alors une somme géométrique divergente (raison 2). Ou se cache l'erreur ??
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[invitedf667161]

Salut,

Je ne comprends pas pourquoi tu dis que v est une projection. Pour moi, ça ne l'est pas.

[invite42abb461]

Bah on a E qui est la somme directe de im v et de ker v, ca suffit pas ?

[invitedf667161]

Ah non.

La définition de projecteur c'est d'abord v^2=v. A partir de ça, on montre que E est la somme directe de l'image et du noyau. Si en plus, l'image est orthogonale au noyau, on parle alors de "projecteur orthogonal".

Il faut bien faire gaffe que ce terme "orthogonal" ne veut pas dire que l'endomorphisme est orthogonal au sens t(U)U= Identité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[erff]

Bah on a E qui est la somme directe de im v et de ker v, ca suffit pas ?

Bonjour, je te donne un contre exemple pr illustrer le propos précédent.
- Si p est un projecteur on a E=Ker(p)+Im(p) (somme directe) et pop=p
Posons alors p'=2*p on a bien :
E=Ker(p')+Im(p') (somme directe) pourtant p'op'=4pop=4p=2p' <> p' donc p' n'est pas un projecteur..
Voilà.

[invite42abb461]

Personne n'arrive a résoudre l'exo ? Moi j'ai beau tout essayer il me manque surement qqchose : j'ecris la norme euclidienne de un(x) - p(x) au carré, je développe mais je n'arrive pas a montrer que cela tend vers zero. Peut etre faut il utiliser une autre norme ?

[invite9cf21bce]

Personne n'arrive a résoudre l'exo ? Moi j'ai beau tout essayer il me manque surement qqchose : j'ecris la norme euclidienne de un(x) - p(x) au carré, je développe mais je n'arrive pas a montrer que cela tend vers zero. Peut etre faut il utiliser une autre norme ?

Tu as déjà tout dit !
Écris x=x₁+x₂, avec x₁ dans Ker v et x₂ dans Im v.
Alors x₂ s'écrit v(y), c'est-à-dire u(y)-y.

La suite en spoiler :

 Cliquez pour afficher

et est télescopique.

Taar.

[invite42abb461]

loL la 2eme partie du spoiler est la clé qu'il me manquait, je trouve que c'etait qd mm cho a voir malgré tout...merci !