Taylor ou Mac Laurin ?

[invitedae07ceb]

Bonjours à tous,

J'aurais aimé savoir comment à la vue de la fonction que l'on me donne à développer comment puis-je savoir si je dois faire un développement de mac Laurin ou un développement de Taylor ?
Y at-il un truc ? un calcul ?
Le prof nous a dit, pour e^{quelque chose}, ce sera toujours Mac Laurin, pour ln de quelque chose ce sera toujours Taylor autour de 1 mais je ne comprends pas pourquoi ?
Que dois-je faire si on me demande de calculer une valeur approchée de sin 47 ° ? Taylor ou Mac Laurin ? Quid si la fonction = (1+X)^1/2?
Je ne sais pas pourquoi mais je fais vraiment un blocage sur cette matière.



Merci d'avance pour votre aide
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[inviteaf1870ed]

Mac Laurin c'est en zéro, Taylor c'est vrai en tout point. Mais la formule est la même : f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+...
Pour Mac Laurin on fait a=0 et on trouve f(x)=f(0)+xf'(0)+...

[invitedae07ceb]

Oui mais comment fais-je pour savoir si je dois faire un développement en zéro ou en un autre point ? Puis je faire pour n'importe quelle fonction indiferramment taylor ou Mac Laurin en étant sûre d'avoir la bonne réponse ?

[inviteaf1870ed]

On te demande forcément de faire le développement en un point...Si tu veux calculer une valeur de sin(47°), tu fais le développement au point 47°; si tu veux calculer une valeur de sqrt(1+x) pour x très petit tu le fais en zéro etc...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

On te demande forcément de faire le développement en un point...Si tu veux calculer une valeur de sin(47°), tu fais le développement au point 47°; si tu veux calculer une valeur de sqrt(1+x) pour x très petit tu le fais en zéro etc...

Oui sauf que pour sin(47) développer au point 47° pose problème puisque sin(47) est la valeur dont on cherche une approximation. 47° est voisin de 45°, on développe donc au point sin(45°), on connaît f(a), f'(a),...
Mais ericcc a raison (je pense que c'est une simple étourderie de sa part le sin(47)) le maître mot reste "voisin". Pour le reste c'est en forgeant....

[inviteaeeb6d8b]

Mac Laurin c'est en zéro, Taylor c'est vrai en tout point. Mais la formule est la même : f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+...
Pour Mac Laurin on fait a=0 et on trouve f(x)=f(0)+xf'(0)+...

Ah bon ?! Et bien, j'aurai appris quelque chose aujourd'hui Je connaissais Taylor, je ne connaissais pas Mac Laurin (et pourtant Taylor => Mac Laurin)...

Du coup j'ai une petite question :

historiquement, comment cela s'est-il passé ? on a d'abord montré Mac Laurin puis Taylor ? bref, si vous pouviez m'expliquer pourquoi on continue à appeler Mac Laurin un cas particulier de Taylor... (ce qui ne sert pas à grand chose à part à faire plaisir à la famille de Monsieur Mac Laurin - un Ecossais sûrement !)

merci


Romain

[inviteaf1870ed]

Oui sauf que pour sin(47) développer au point 47° pose problème puisque sin(47) est la valeur dont on cherche une approximation. 47° est voisin de 45°, on développe donc au point sin(45°), on connaît f(a), f'(a),...
Mais ericcc a raison (je pense que c'est une simple étourderie de sa part le sin(47)) le maître mot reste "voisin". Pour le reste c'est en forgeant....

La Honte.....

[invite4ef352d8]

Ah bon ?! Et bien, j'aurai appris quelque chose aujourd'hui Je connaissais Taylor, je ne connaissais pas Mac Laurin (et pourtant Taylor => Mac Laurin)...

Du coup j'ai une petite question :

historiquement, comment cela s'est-il passé ? on a d'abord montré Mac Laurin puis Taylor ? bref, si vous pouviez m'expliquer pourquoi on continue à appeler Mac Laurin un cas particulier de Taylor... (ce qui ne sert pas à grand chose à part à faire plaisir à la famille de Monsieur Mac Laurin - un Ecossais sûrement !)

merci


Romain

il y a pas une regle qui dit qu'un théorème ne porte jammais le nom de celui qui la inventé ?

c'est deux énoncé sont équivalent de facon tellement évidente, qu'a mon avi la seul possibilité est que les deux les ai énoncé a peu pres en meme temps de facon indépendante... mais ceci dit, c'est peut-etre ni Taylor ni Mac-laurin qui ont inventé ces formules ^^

[inviteaf1870ed]

Extrait de Mac Tutor, History of Maths :
"Brook Taylor was an English mathematician who added to mathematics a new branch now called the 'calculus of finite differences', invented integration by parts, and discovered the celebrated formula known as Taylor's expansion...

...The Maclaurin series was not an idea discovered independently of the more general result of Taylor for Maclaurin acknowledges Taylor's contribution"

Donc la formule générale est bien de Taylor, et MacLaurin a juste utilisé le développement de Taylor en zéro.

[Bleyblue]

Il me semble que les développements de fonctions en série (dites de Taylor), c'était déja connu de Bernouilli et dans une moindre mesure, de Newton.

Taylor "n'a fait que" redécouvrir ça, et MacLaurin les "rendit populaires" (pour reprendre les mots qui se trouvent dans mon livre) dans un de ses traités.