Taylor & Mac Laurin

[invitedae07ceb]

Bonjour,

J'ai dans mon cours, un petit chapitre très(trop)succinct sur Taylor et Mac Laurin.Le problème est qu'il y a tellement peu d'explications que je ne comprends même pas quelles sont les utilités de ces formules !?
Si l'on me donne une fonction, cf. f(x) = X-2, je ne sais pas ce que je dois en faire exactement ni où je dois arriver, comment calculer le "reste" ?
Je vois bien que je dois dériver un certains nombre de fois successivement la fonction pour obtenir les coefficients d'un polynôme en x mais combien de fois ??? et après ... pour le reste , je ne sais pas ce que je dois faire !?
Pourrait-on soit me renseigner un site qui m'expliquerait clairement et simplement la théorie ? ou me l'expliquer si ce n'est pas trop long ?

Merci d'avance pour votre aide

Potache
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[invite4ef352d8]

Salut !

il existe au moins 3 énoncé différent (meme plus en fait...) de la formule de taylor (taylor young, taylor lagrange, avec reste intégral etc...). la seul différence entre deux de ces formules est la facon d'exprimer le reste justement, et cela change enormement la facon et les situations dans lesquels on les utilises...


par exemple la plus simple (taylor young) dit que f(x) = f(0)+x*f'(0)+...+x^nfn(0)/n! +o(x^n) et permet principalement de calculer des limites, ou de dire qu'elle est "l'aspect" d'une courbe au voisinage d'un point (si il y a un point d'inflexion par exemple, principalement pour les arc paramétré en fait...)

la formule de taylor lagrange qui dit que |Rn| < Mx^n/n!, ou M est un majorant de la dérivé n-iemme, permet d'obtenir des inégalité qui par exemple donne un majorant de l'ecart entre la somme de rieman pour un pas e donné avec l'intégral...


etc etc...

tous sa pour dire, de qu'elle formule parle tu précisement ?



NB : l'exemple que tu donne f(x)=2-x est tres mal choisit : comme la dérivé seconde sera nul partous, les formules de taylor ne te donneront rien d'autre que f(x)=2-x+0... (le reste sera nul des qu'on prendra n>1... )

[invitedae07ceb]

D'après ce que j'ai dans mon cours, il doit s'agir de la première car on ne me parle pas de "reste intégrale".

Comme définition du reste, on me donne la formule suivante : Rn(x) = [(x-a)ⁿ⁺¹ /(n+1)!]*f⁽ⁿ⁺¹⁾*xhi

avec xhi = a + thêta(x-a)

Avec tout ce que je savais j'ai tenté de résoudre l'énoncé suivant : "Ecrire le développement de Taylor de la fonction y= x^1/2 au 3ème ordre

a) au tour de l'origine
b) autour de 1
Evaluer l'erreur commise"

Pour le a) ce que je ne comprends déjà pas c'est que si je dérive X^1/2, je vais me retrouver avec "x" au dénominateur et quand je vais faire f'(0) je vais obtenir quelque chose de non défini ! Est-ce possible ? Comment l'exprimer ? Comment calculer le reste? Il ne peut être qu'égale à 0.

Pour la partie b) autour de 1

f(x) => x^1/2 =Pn(x) +Rn(x)
pour x=1

Pn(x) = 1 +1/2(x-1) -1/8(x-1)exp2+3/48(x-1)exp3

Rn(x) =(x-1)exp4/4!* ???

Il y a-t'il du bon dans ce que je dis ?
Pour le calcul du reste ça reste obscur(que représentent ces xhi et thêta ?) et comment me permet-il de déterminer l'erreur commise ?

Merci pour la réponse déjà fournie et pour celles à venir

[acx01b]

salut

le reste integral est il me semble l'étape logique pour apréhender les autres

j'avais fait une page sur la démonstration par récurrence que j'avais dans un bouquin si ça t'intéresse:
http://www.hacking.free.fr/paris8/de...e%20Taylor.htm

sinon pour x puissance 1/2,
Le mathématicien Taylor a démontré qu'une fonction f, dérivable n fois sur un intervalle I contenant x0, possédait un D.L.n au voisinage de x0 :
x puissance 1/2 est dérivable sur ]0;+inf[ donc ça marche pas le DL au voisinage de 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[benjiii]

Bonjour,
je cherche un petit cours sur le devellopement de Taylor ou/et Mac Laurin qui est je crois le devellopement de Taylor au voisinage de 0,
parcqu'avec ce que j'ai atuellement je ne comprend pas grand chose

merci