Séries de Mac Laurin

[Bleyblue]

Bonjour,

Dites si je cherche la série de Mac Laurin d'Arctg(x) j'obtiens :



mais ça n'est pas très intéressant car l'intervalle de convergence c'est ]-1, 1[ c'est à dire pas des masses étant donné que cette fonction est définie pour tous les réels.

Il n'est pas possible d'obtenir un développement en série avec un intervalle de convergence plus grand ?

Le seule moyen (si je cherche par exemple Arctg (5,1) avec 5 décimales exactes) ça serait de calculer la série de Taylor du polynôme en 5 tout en sachant que j'aurais toujours un rayon de convergence de 1 ?

Ca m'embête parceque moi j'aimerais bien utiliser cette série pour calculer des primitives sur ]-oo,+oo[ donc c'est pas pratique

merci
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[invite4660d0b5]

Ah non, on ne choisit pas l'intervalle de convergence avec des séries entières. Dans le cas présent, ce n'est pas grave car Arctan x + Arctan 1/x = Pi/2 si x>0 (et -Pi/2 si x<0) donc un simple changement de variable ramène à ]-1,1[.

[invite6b1e2c2e]

Pour aller un peu plus loin, ça signifie que si tu définis la fonction g par la série entière que tu as écrite sur la boule des complexes de module <1, alors g est une fonction holomorphe sur la boule de module 1 et tu peux la prolonger sur un voisinage de la droite réélle, qui coincide avec arctan, car arctan est une fonction réélle analytique.

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rvz

[Bleyblue]

Ah non, on ne choisit pas l'intervalle de convergence avec des séries entières.

ah bon, ben tant pis alors

Pour le message de rvz je n'ai pas bien comprit

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Ba, en gros, je dis que tu peux prolonger la fonction arctan en une fonction holomorphe sur un voisinage de l'axe réél. Et que si tu regardes le plus grand ouvert où tu peux la prolonger de façon holomorphe, le bord de cet ouvert est tangent au cercle de centre 0 et de rayon le rayon de conergence en un ou plusieurs points.
Bon, après, si tu connais pas les fonctions holomorphes, c'est sûr, ça va pas trop t'aider. Mais ça peut être utile de comprendre pourquoi les séries entières sont tantôt sur R tantôt sur C et ont un rayon de convergence 1 bien que la fonction définie sur R soit analytique.
__
rvz

[Bleyblue]

Je ne connais pas les fonctions holomorphes et de plus je n'ai recontré que des séries sur R pour le moment

Mais je n'ai commencé l'étude des séries que depuis peu seulement ...

merci

[Bleyblue]

Je me suis vite rendut compte aussi que trouver la série de Mac Laurin (ou de Taylor) d'une fonction ça devenait très vite difficile.

Si on sait (par exemple) que :



On peut facilement trouver le développement de sin(x²), sin(x)/x, xsin(x), ...

mais si on cherche celui de e^sin(x) il n'y pas de raccourci et il faut se mettre à calculer les dérivées de la fonction en zéro ce qui devient vite difficile.

Mais si je prends mon courage à deux main et que je commence à calculer les, disons, dix premières dérivées de la fonction en zéro pensez vous que je vais finir par trouver une régularité dans les valeurs ce qui me permettra d'exprimer la fonction ainsi :



(f(n) est la fonction qui me donne les coefficients de la série de Mac Laurin en fonction de n)

?
Ou bien alors je perdrai probablement mon temps et je n'y arriverai pas ?
Je n'ai pas fort envie de commencer à calculer pleins de dérivées comme ça mais si ça paye (= si j'arrive à trouver le développement en série) ça pourrait m'intéresser ...

merci

[invite4793db90]

Salut,

ça m'étonnerait que tu trouves quelque chose de simple...

Pour rigoler, j'ai trouvé :



(Je n'ai pas vérifié mon calcul)

Cordialement.

[le fouineur]

Je me suis vite rendut compte aussi que trouver la série de Mac Laurin (ou de Taylor) d'une fonction ça devenait très vite difficile.

Si on sait (par exemple) que :



On peut facilement trouver le développement de sin(x²), sin(x)/x, xsin(x), ...

mais si on cherche celui de e^sin(x) il n'y pas de raccourci et il faut se mettre à calculer les dérivées de la fonction en zéro ce qui devient vite difficile.

Mais si je prends mon courage à deux main et que je commence à calculer les, disons, dix premières dérivées de la fonction en zéro pensez vous que je vais finir par trouver une régularité dans les valeurs ce qui me permettra d'exprimer la fonction ainsi :



(f(n) est la fonction qui me donne les coefficients de la série de Mac Laurin en fonction de n)

?
Ou bien alors je perdrai probablement mon temps et je n'y arriverai pas ?
Je n'ai pas fort envie de commencer à calculer pleins de dérivées comme ça mais si ça paye (= si j'arrive à trouver le développement en série) ça pourrait m'intéresser ...

merci

Bonjour bleyblue,

J'ai calculé les 10 premiers termes de Exp[Sin(x)] avec
une calculatrice et les 20 premiers termes avec
l' ordinateur et l'aide de mathematica.J'ai pu constater
que le developpement en 0 commence par:

1+x+(x^2/2)-(x^4/8)-(x^5/15)-(x^6/240)+(x^7/90)+....

Il est vraiment surprenant qu' il n' apparaisse pas de terme en x^3!!! De plus les coefficients décroissent
(de 1/15 à 1/240), puis croissent à nouveau (de 1/240
à 1/90).On peut en déduire que l' expression du terme
général si elle existe promet d' ètre particulièrement
compliquée.

[Bleyblue]

Ouille ouille, c'est assez compliqué comme expression ça ...

C'est dommage ça aurait été tellement chouette d'avoir une expression de :



Enfin, tant pis

merci

[invite4793db90]

1+x+(x^2/2)-(x^4/8)-(x^5/15)-(x^6/240)+(x^7/90)+....

Pff, je n'ai que les cinq premiers termes de juste...

[le fouineur]

Pff, je n'ai que les cinq premiers termes de juste...

5 termes c' est tout à fait honorable pour un calcul à la
main!!Moi, j' ai mis une heure et demie pour calculer:
Log[Cos(x)] jusqu' a l' ordre 8 en 1991.

[invite4793db90]

Moi, j' ai mis une heure et demie pour calculer:
Log[Cos(x)] jusqu' a l' ordre 8 en 1991.

C'est des choses qui marquent !

[Bleyblue]

C'est marrant je peux utiliser les séries entières pour résoudre des équations différentielles pour lesquelles je (on ?) ne connaissais aucune méthode de résolution, telle que :



Je m'en vais travailler ça (ça n'est pas si simple à maîtriser comme méthode je trouve) parceque c'est magnifique

[invite4793db90]

Salut,

en effet, cette méthode marche bien. Mais attention : tu fais ainsi l'a priori que la solution est développable en série entière. Même si celà représente la grand majorité des cas, on doit pouvoir bidouiller une équa diff telle que les coefficients obtenus ne définissent pas une fonction.

Cordialement.

[Bleyblue]

Oui ils le précisent aussi dans mon livre, mais alors il faudrait prouver que la fonction est développable en série ? Ca ne doit pas être évident à faire j'imagine ...

merci