intégrale de (sin(x)/x).exp(i.x) ???

[invite51db672a]

bonjour

quelqu'un pourrait t-il m'aider à résoudre cette intégrale complexe entre +/- l'infini réels?

si besoin pouvez-vous m'en produire une approximation?

D'avance merci.
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[invite6b1e2c2e]

Bon, comme ça à froid, ça ressemble à un exercice d'analyse complexe où il faut utiliser la formule des résidus, en utilisant un chemin autour de 0. Un conseil aussi, exprime sin en terme d'exponentielles complexes.

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rvz

[invite2f4d9e53]

Bonjour,
tu peux également faire le calcul plus "bêtement". Tu décomposes l'intégrale en partie réelle et partie imaginaire. La partie réelle vaut int(sin(x)cos(x)/x), soit int(sin(2x)/(2x)), ou encore 1/2*int(sin(y)/y)) après changement de variables. Cette intégrale prise entre -infini et +infini vaut Pi. La partie réelle vaut donc Pi/2.
Tu fais pareil pour la partie imaginaire, en écrivant que sin²(x)=(1-cos(2x))/2. Cela donne int((1-cos(2x))/(2x)), soit 1/2*int((1-cos(y))/y) après changement de variables. Or int(cos(y)/y) vaut 0 car la fonction sous l'intégrale est impaire, et 1/y n'est pas intégrable sur R.
Donc l'intégrale n'existe pas.
(J'ai peu être fait des erreurs dans mon raisonnement!)

[invite2f4d9e53]

autant pour moi j'ai dit une bêtise. La fonction 1/y est impaire donc int(1/y)=0. En fait on peut directement dire que (1-cos(y))/y est impaire et donc que l'intégrale vaut 0. (ou même que sin²(x)/x l'est)
Finalement l'intégrale que tu cherchais à calculer vaut Pi/2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec9f0f895]

Bonsoir

je rappelle que ce forum n'a pas pour objectif de faire les exos a votre place!
Alors plutot que de demander qu'on vous fasse votre travail, montrez que vous avez cherché et expliquez ou vous bloquez.

YOyo

[invite6b1e2c2e]

Reste toutefois à savoir comment on calcule l'intégrale de sin(x)/x ... Je crois que ça se calcule bien avec la formule des résidus, mais je ne vois pas d'autre méthode.
Vous en connaissez d'autres ?

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rvz

[invite2f4d9e53]

oui je me souviens en prépa on avait montré que l'intégrale de sin(x)/x entre 0 et l'infini vaut Pi/2. En fait, la fonction sin(x)/x n'est pas intégrable mais l'intégrale entre 0 et A tend vers Pi/2 quand A tend vers l'infini. Je me souviens plus trop de la définition, mais elle est assez élémentaire (pas besoin de la formule des résidus)

[invite6b1e2c2e]

Oui, l'intégrale est semi convergente, et ça, on peut le faire avec des outils de prépa, sans aucun doute. Par contre, je ne pense pas qu'on puisse calculer la valeur exacte sans utiliser des techniques de sioux type

Vérifier que f est continue en zéro, trouver des formules d'équation différentielle pour f, l'ajuster avec les données à l'infini et des trucs comme ça.
Autant dire un truc bien plus compliqué que la formule des résidus.

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rvz

[invite5e1117d5]

En faisant le lien avec la diffraction, je dirais que la transformée de Fourier du sinus cardinal est une fonction rectangle du style f(x) = 1 si |x|<1 et 0 ailleurs. Mais je ne suis pas sûr du support de la fonction rectangle.

Mais il y a de fortes chances qu'on tombe sur la discontinuté de la fonction rectangle. A creuser donc.

[invite51db672a]

je rappelle que ce forum n'a pas pour objectif de faire les exos a votre place!

Merci M. le professeur.

Il se trouve que j'ai 42 ans, que mes études sont loin et que je recherche à résoudre cette intégrale pour un problème de physique qui me passionne.

Merci aux autres de votre aide, c'est un service que j'ai demandé, pas un raccourci de potache, rassurez vous.

[invitec9f0f895]

Merci M. le professeur.

Il se trouve que j'ai 42 ans, que mes études sont loin et que je recherche à résoudre cette intégrale pour un problème de physique qui me passionne.

Merci aux autres de votre aide, c'est un service que j'ai demandé, pas un raccourci de potache, rassurez vous.

Désolé mais c'etait impossible a deviner! dans ce cas la autant le préciser immediatement ca evite les mal entendus...

YOyo