Intégrale de sin(x)/x

[invite63840053]

Bonsoir,
J'aimerais démontrer que en passant par les transformées de Fourier.
Je sais que la transformation de fourier d'une fonction porte entre [-1;1] est égale à , mais je n'arrive pas à m'en sortir.

Est-ce que quelqu'un à une idée ?
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[invite4ef352d8]

Et bien si tu connait la formule d'inversion de fourier, il suffit de l'appliquer.

sinon je vois pas trop comment utiliser le calcule que tu cite, mais je connait d'autre méthode pour prouver le résultat que tu énonce si il y a bessoin.

[invite63840053]

J'aimerais bien les voir s'il te plaît.

[invite4ef352d8]

Tu as vu la dérivation sous le signe intégral ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63840053]

Oui, je l'ai vu.

[invite4ef352d8]

Ok alors une methode (complemet anti intuiive, mais pas super compliqué)

on pose ( pour x>=0)
f(x)= intégral de de 0 a l'infinit de sin(t)/(x+t) dt
g(x)= intégral de 0 à l'infinit de exp(-tx)/(1+t²) dt
h(x)=g(x)-f(x)
on vérifie rapidement qu'elles sont définit est continu sur R+

utilise la dérivation sous le signe intégral pour montrer que pour x>0
f''(x)+f(x)=1/x
g''(x)+f(x)=1/x


on en déduis que h''(x)+h(x)=0 donc h(x)=asin(x)+bcos(x). mais on vérifie aussi que h->0 en l'infinit, donc h(x)=0. donc f(x)=g(x).

on applique cela en x=0 et on trouve que intégral de sin(t)/t entre 0 et l'infinit = intégral de 1/(1+x²) entre 0 et l'infinit =Pi/2

[invite4ef352d8]

mais si tu veux passer par les transofrmé de fourier, y a pas de secret, c'est la formule d'inversion de fourier qui fait cela. (y aussi une autre formule dont je ne me rapelle plus le nom qui relie l'intégral de f a celle de F un peu comme la formule somatoire de POisson... mais je ne me rapelle plus son nom, et si je me souviens bien, c'est juste un cas particulier de la formule d'inversion...)

[invite63840053]

Oui j'ai finalement réussi à le faire avec Fourier, merci.
Ta méthode est, c'est vrai, pas du tout intuitive. Tu en connaitrais d'autre ?

[breukin]

Une plus logique consiste à étudier :
f(x) = intégrale de 0 à l'infini de exp(-tx).sin t/t dt
f'(x) peut se calculer, donc f(x) par intégration (f doit tendre vers 0 à l'infini), d'où f(0).

[invite4ef352d8]

ouai il y aussi plusieurs méthodes avec Fubini (on calcule une certain intégral double dans les deux ordres possible, et on tombe d'un coté sur l'intégral que tu veux calculer et de l'autre sur quelquechose qu'on sait calculer...) mais je retrouve plus d'untégrales qui fonctionne...

enfin la formule d'inversion c'est encore ce qu'il y de plus simple...

[MOHAMED_AIT_LH]

Bonsoir

je suis nouveau sur ce site et je commence par contribuer à cette discussion:

Ksilver a dit:

on vérifie rapidement qu'elles sont définit est continu sur R+

Il n'est pas facil de prouver rapidement que est continue en

Toutefois , sa continuité sur ne pose pas un grand problème.

Si cependant, tu as une méthode rapide pour prouver que est continue au point je te prie de me l'indiquer et merci .

[invitea3577cfd]

Salut,
Cette intégrale se calcule avec le théorème des résidus.

A+

[inviteaf1870ed]

Voir ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...e_de_Dirichlet trois autres méthodes, dont celle avec une Transformée de Laplace
Voir également cette discussion : http://forums.futura-sciences.com/ma...ale-sinus.html qui donne la méthode avec une TF, et une égalité marrante

[invitea3577cfd]

Il faut que tu trouves un contour et que tu intègres sur celui ci.



Il faut faire attention, au niveau du contour, à faire un petit détour autour de zéro car la fonction y possède un pôle. En gros, ton contour d'intégration sera un demi cercle avec un trou en zéro.