Intégrale de Sin²(x)

[invite33c5f5bf]

bonjour,

Je n'arrive pas à intégrer Sin²(x)dx de 0 à 2Pi en faisant un changement de variable : t = sin x, dt = cos x dx => dx = dt/cos x
parceque quand je fais le changement de bornes, j'ai 0
sin(0) = 0, sin(2Pi) = 0
Ce qui me donne Intégrale de 0 à 0 de (t²/cos x)dt
De plus je ne sais que faire de ce cos x
La bonne réponse de cette intégrale est Pi, en utilisant la primitive pour sin²(x) : (x- sin(x) cos(x)).
Le changement de variable est-il possible ? Si oui où se trouve mon erreur ?
Merci à quiconque pourra m'éclairer...

Sinus
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[invitefa636c3d]

salut, utilise plutot une ligne trigo du style cos (2x) =1-2sin²(x)...

[invite74de5f91]

le changement de variable t = sin x n'est pas possible pour une integrale sur
un intervalle de longueur 2Pi, car sin n'est pas une fonction bijective sur un tel intervalle. (on n'a pas injectivité)

Donc tu ne peux pas commencer comme ça.

Comme dit jameso, commence par transformer le sin²(x)
et integre cos 2x...

[invitedb5bdc8a]

Plus intuitivement on peut voir que comme sin² x + cox² x = 1 et qu'intégrer sin ² x ou cos ² x entre 0 et 2 pi c'est pareil ...
Mais ça nous prive d'un beau calcul d'intégrale...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite33c5f5bf]

Merci !
C'est beacoup plus clair maintenant !

Sinus

[inviteab2b41c6]

Un petit truc aussi c'est d'intégrer 1 et d'intégrer cos²-sin²

après on a notre intégrale en résolvant un petit système, et on aurait pas linéarisé, mais bon ca complique un peu la chose...

[inviteb8113259]

le changement de variable t = sin x n'est pas possible pour une integrale sur
un intervalle de longueur 2Pi, car sin n'est pas une fonction bijective sur un tel intervalle. (on n'a pas injectivité)

Donc tu ne peux pas commencer comme ça.

Comme dit jameso, commence par transformer le sin²(x)
et integre cos 2x...

Moi, je n'ai pas tres bien compris le lien entre ce changement de variable et le fait que sinus ne soit pas bijective sur [0,2Pi]??

[inviteab2b41c6]

Par ce qu'un changement de variable doit etre "bijectif".

Si tu as t=x² alors est ce que x=racine de t ou -racine de t?
Tu ne peux las le savoir.

La formule d'intégration par changement de variable fait appelle à la fonction réciproque, et elle n'existe que si et seulement si la fonction est bijective.

[inviteb8113259]

Ah ok! jai compris maintenant pourquoi je trouve parfois des difficultés avec le changement de variable!! Merci pour cette information ca va beaucpup maider!!

[invitec6663e68]

tu peut faire la transformation trigometrique suivante: sin²x=(cos2x+1)/2 et là tu peut integrer facilement le 2ieme menbre

amicalement,
TToufik