BONJOUR,
Juste une petite question :
Si j'ai une relation R réflexive symétrique et transitive sur un ensemble E , je sais que l'on peut construire un espace quotient E/R;
Mais si j'ai une relation d'ordre (cad réflexive antisymétrique et transitive) peut-on alors de la même façon construire un espace quotient et si c'est possible a-t-on alors les mêmes résultats que pour une relation d'équivalence(
je pense à la factorisation canonique des morphismes...).
MERCI POUR VOS REPONSES
Salut
Si la relation d'ordre est totale alors tu ne vas te retrouver qu'avec une seule classe.
Re salut, c'était une bétise !
Salut,
Je ne comprends pas trop la question. Quand tu quotientes, ce que tu fais en fait, c'est identifier tous les coefficients d'une même classe. Donc, dans le cas d'une relation d'ordre, les seuls éléments que tu peux avoir envie d'identifier sont ceux qui sont égaux (au sens de la relation d'ordre), mais en général ça n'apporte pas grand intérêt puisque a <= b et b <=a doit entraîner a =b.
Autant dire que non, tu ne pourras pas construire d'espaces quotients. Par contre, l'ordre peut servir. Par exemple, le lemme de Zorn, équivalent à l'axiome de choix permet de démontrer des tas de résultats importants. Par exemple Hahn Banach, et le théorème de la base incomplète en dimension infinie.
Bon, vu ta question, je dirai que tu dois être en sup-spé ou quelque part par là, alors essaye de regarder lemme de Zorn sur google, et si tu t'y connais déjà un peu en algèbre linéaire, tente base incomplète en dimension infinie.
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rvz
Cest une question intéressante. Considérons un ensemble X (de cardinal supérieur à trois) et muni d'une relation d'ordre.
Faisons comme pour les relations d'équivalences et choisissons comme défintion du "quotientage" (que nous nommerons "réordonnement"), xRy si et seulement si x<=y ou y<=x. En fait, tes classes correspondent aux ensembles des éléments comparables entre eux.
Intéressons-nous à la partititon que doit former les classes "d'équivalence" (que nous appellerons classes de réordonnement) .
Si tu as une relation d'ordre totale, ton ensemble "quotienté" (que nous appellerons "réordonné") est un singleton et tu as bien une partition.
Sinon, ce réordonnement ne forme pas en général une partition: par exemple, dans/|, les classes de 2 et 3 sont respectivement l'ensemble des multiples de 2 et celui des multiples de 3. Mais alors où se trouve 6?? Si tu veux une véritable partition,
_tu dois avoir que si un élément est comparable à deux éléments non comparables entre eux, alors ces deux derniers sont comparables.(i)
Alors, dans notre exemple, on ne dois considérer au mieux que les puissances des nombres premiers.
_tu ne pas avoir d'élément comparable à tous (ii). Car la relation étant partielle, il existe deux éléments non comparables entre eux mais qui seraient comparables à un même élément!.
Réciproquement, si on se donne un ensemble X avec une relation d'ordre partielle (non totale) et vérifiant (i) et (ii) tu obtiens clairement une partition. Nous nommerons un tel ensemble, ensemble réordonnable.
Oups, je viens de me rendre compte que notre relation de réordonnement est en fait une relation d'équivalence!!
