Bonjour à tous les forumeurs !!
Voila, je viens ici pour poser une question toute bête :
Est-ce que "l'ensemble" des Ensembles peut être considéré comme un Ensemble ?
Très subtil... je me doute que la réponse est oui mais ce qui m'intéresse est : comment le prouver ?
Merci d'avance aux réponses
Salut.
Cela est un paradoxe connu : on ne peut pas définir l'ensemble de tous les ensembles, et pour cause on aurait alors un ensemble qui serait élément de lui-même.
Ce problème fait un peu tourner le cerveau en bourrique, mais je ne crois pas que cela pose des problèmes trés importants pour la suite de l'étude des mathématiques ...
Ben non justement. S'il existait un ensemble de tous les ensembles, ça créerait des contradictions (voire paradoxe de Russel).
Maintenant il peut exister des ensembles d'ensembles particuliers, ce n'est pas un problème.
[EDIT : devancé par GuYem]
je crois que l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas, ou plus exactement il est en contradiction avec les axiomes de la théorie de Zermelo-Fraenkel.
Bonjour,Envoyé par Orfait
La réponse est non, et c'est très facile à montrer. Soit A l'ensemble de tous les ensembles (enfin s'il existe).
Considère
B = { x dans A, x n'appartient pas à x }
Alors B est un ensemble, puisque c'est un sous ensemble de A.
Mais, en regardant attentivement la définition, si B est dans B, alors B n'appartient pas à B. De même, si B n'appartient pas à B, alors B appartient à B.
Contradiction.
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rvz, pour les classiques
cf Logique, de Cori Lascar par exemple
Je ne m'attendais pas à ce que la réponse soit non...
pour rvz : "B = { x dans A, x n'appartient pas à x }"
Je ne comprends pas bien cette définition de l'ensemble B.
Un exemple pourrait-il illustrer cette définition ?
yep j'ai compris...
J'avais pas bien saisi le "appartient"...
Re : Un Ensemble... d'Ensembles ?
Bon, la discussion est close, merci aux réponses si rapides !
Voir aussi la notion de catégorie (un ensemble est une petite catégorie), pour approfondir la question.
