Suite d'ensembles !

[invite52487760]

Bonsoir:
J'ai du mal à comprendre quelques notations concernant les suites d'ensembles, les voiçi :


Question :
1) Pourquoi on les note comme ça : et , c'est à dire, quel est l'origine de ces deux notations ... est ce qu'il ont un rapport avec la definition des bornes superieurs et des bornes inferieurs de ces ensembles ? ( c'est à dire, toute partie non vide et majorée admet une borne superieure ... etc ).
2) Soit une suite de parties d'un ensemble .
Comment montrer que :
.
Rappel:
et
Merci infiniment !!!
-----

[invite52487760]

Bonsoir:
Dans un autre bouquin, je trouve ceçi :
Soit : .
On pose : .
On a :
.
est donc croissante ( admet une borne superieure ).

.
De l'autre coté :
On pose : .
On a :
.
est donc décroissante ( admet une borne inferieure ).

.
Question:
Est ce que celà a un rapport avec le sujet ?!.
Marçi d'avance !!!

[martini_bird]

Salut,

Question :
1) Pourquoi on les note comme ça : et , c'est à dire, quel est l'origine de ces deux notations ... est ce qu'il ont un rapport avec la definition des bornes superieurs et des bornes inferieurs de ces ensembles ? ( c'est à dire, toute partie non vide et majorée admet une borne superieure ... etc ).
2) Soit une suite de parties d'un ensemble .
Comment montrer que :
.
Rappel:
et
Merci infiniment !!!

Je vais essayer de délayer un peu.

La lim inf

Dire que , c'est dire que x est dans tous les si m est assez grand :

.

La lim sup

Dire que , c'est dire qu'il existe une infinité de qui contienne x.
Du coup, si , x n'appartient plus aux pour m assez grand :

.

La limite

Ainsi, il n'est pas difficile de voir que si converge,

Je te laisse démontrer les inclusions réciproques.
Je regarde ton second message.

Cordialement.

[martini_bird]

Re,

Question:
Est ce que celà a un rapport avec le sujet ?!.
Marçi d'avance !!!

Oui, enfin disons que c'est exactement la même construction en changeant les relations d'ordre (l'ordre naturel sur , et l'inclusion sur les parties d'un ensemble). Dans ce cadre, la borne inf et l'intersection, la borne sup et la réunion se correspondent mutuellement.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

Bonjour:
Merci beaucoup pour toutes ces precisions "Martini bird" ... !
Mais ce problème là n'est pas encore assez clair dans ma tête de point de vue de l'ordre dans au quel appartient la suite ...!!!
Je vais essayer de suivre ce que tu m'a expliqué dans ton dernier message ... !!
Soit :
On pose : .
alors là, je ne comprends pas le sens de: .
Pour parler de au sens de l'inclusion, il faut que : la suite soit croissante ou decroissante, n'est ce pas ??, mais pas dans n'importe quel ordre !!!
Est ce que vous pouvez me donner quelques eclaircissement sur ce point là Merci d'avance !!!

[invite52487760]

Ah maintenant je comprends ..!
Soit :
On pose :
.
On a :
.
est croissante au sens de l'incusion ( admet une borne superieure )

.
De l'autre coté :
On pose :
.
On a :
.
est décroissante au sens de l'incusion ( admet une borne inférieure )

.
Voilà ..!

[martini_bird]

Soit :
On pose : .
alors là, je ne comprends pas le sens de: .
Pour parler de au sens de l'inclusion, il faut que : la suite soit croissante ou decroissante, n'est ce pas ??, mais pas dans n'importe quel ordre !!!

Comme je te disais; la notion de borne inférieure doit être remplacée par celle "d'intersection", de sorte que .

Cordialement.

PS : on s'est croisé.

[FAN FAN]

Bonjour,
Cette discution m'intéresse et j'ai deux questions sur ce sujet:

Question 1:
Il me semble que liminf A_n et limsup A_n ne soint pas ordonnés par l'inclusion contrairement à liminf a_n < = limsup a_n pour une suite de réels ordonnés par la relation d'ordre usuelle (= si suite convergente). Cela vient que la relation d'ordre de l'inclusion n'est pas totale. Est-ce bien exact ?

Question 2:
Si c'est exact, alors peut-on affirmer ?
liminf A_n et limsup A_n ont toujours une intersection non vide
Quelles sont éventuellement les propriétés de cette intersection ? son cardinal peut-il être fini ou est-il toujours infini ?

Merci pour vos réponses.

[FAN FAN]

Bonjour,
Cette discution m'intéresse et j'ai deux questions sur ce sujet:

Question 1:
Il me semble que liminf A_n et limsup A_n ne soint pas ordonnés par l'inclusion contrairement à liminf a_n < = limsup a_n pour une suite de réels ordonnés par la relation d'ordre usuelle (= si suite convergente). Cela vient que la relation d'ordre de l'inclusion n'est pas totale. Est-ce bien exact ?

Question 2:
Si c'est exact, alors peut-on affirmer ?
liminf A_n et limsup A_n ont toujours une intersection non vide
Quelles sont éventuellement les propriétés de cette intersection ? son cardinal peut-il être fini ou est-il toujours infini ?
Merci pour vos réponses.

Je retire cette partie de ma questuion qui n'est pas pertinente.

[Garf]

Non, non, on a bien : si un objet est contenu dans tous les à partir d'un certain rang (ce qui est équivalent à dire qu'il est dans la limite inférieure), alors il est nécessairement dans une infinité d'ensembles , donc dans la limite supérieure.

[FAN FAN]

Oui bien sûr, où avais-je la tête. Je crois que j'ai besoin de vacances !

[FAN FAN]

Salut,

Je vais essayer de délayer un peu.

La lim inf

Dire que , c'est dire que x est dans tous les si m est assez grand :

.

La lim sup

Dire que , c'est dire qu'il existe une infinité de qui contienne x.
Du coup, si , x n'appartient plus aux pour m assez grand :

.

La limite

Ainsi, il n'est pas difficile de voir que si converge,

Je te laisse démontrer les inclusions réciproques.
Je regarde ton second message.

Cordialement.

Bonjour,

Je me réfère à cette ancienne discution car la phrase en rouge m'interpelle. En effet:

Le suite (A_n) est une suite à valeurs dans les parties de E, P(E). Pour parler de convergence, il faut avoir défini une métrique sur P(E) ou une topologie. Autrement que veut dire la convergence d'une suite d'ensembles si il n'y a pas de notion de distance ou de proximité ? Quand on dit que A_n -> A, cela veux dire que à partir d'un certain rang A_n est "proche" de A. Mais "proche" signifie une métrique sur P(E), laquelle ?
On ne peut pas parler de "quel que soit epsilon etc..." comme dans un espace métrique .

Peut-on m'éclairer sur ce point ?