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Images d'ensembles par homographie



  1. #1
    azboul

    Images d'ensembles par homographie


    ------

    Bonjour à tous,
    Voilà je dois trouver les images d'ensembles par l'homographie suivantes (dans le plan complexe) :

    h(z) = (z+i)/(z-1).

    Voici un des ensembles en question : E={z | Im(z)<1}.

    Bon je sais qu'il s'agit des z qui sont dans le cercle trigo, donc j'ai essayer de remplacer z dans h(z) par exp(iθ) puis par a+ib (pour voir ce que ça donnait..) mais ça n'a rien donner...
    En fait si on pouvait me donner deux trois pistes ça serais sympa merci.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Taar

    Re : Images d'ensembles par homographie

    Salut.

    Bon ben moi j'ai attaqué ton problème comme suit :

    1. Je trouve l'homographie réciproque g (tu auras une surprise d'ailleurs). Du coup au lieu de h(E) on cherche g-1(E), c'est-à-dire les z vérifiant Im(<blabla>)<1.
    2. Comme Im est R-linéaire ça donne Im(<blabla2>)<0
    3. Je convertis ça en condition sur un argument.
    4. Je me débrouille pour convertir en condition sur l'argument de (z-a)/(z-b) (factoriser les coefficients de z).
    5. Et j'obtiens aisément l'interprétation géométrique.

    Il faut évidemment faire attention aux cas critiques des opérations ci-dessus.
    Pour info je trouve l'extérieur d'un disque, qui n'est pas le disque trigonométrique. Mais je me suis sans doute trompé.

    On peut aussi faire avec les coordonnées mais c'est moins rigolo.

    Bon courage...

  4. #3
    azboul

    Re : Images d'ensembles par homographie

    En fait j'ai fait une erreur pour l'ensemble, c'est |z]<1..
    Sinon je vois ce que tu veux dire par surprise h-1 = h

  5. #4
    azboul

    Re : Images d'ensembles par homographie

    Je me suis aider de ta réponse et j'ai résolu mon probleme merci beaucoups pour ton aide rapide

  6. A voir en vidéo sur Futura

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