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convergence série



  1. #1
    indian58

    convergence série


    ------

    Comment montrer que la série de terme 1/sqrt(k*(n-k)) converge et quelle somme??

    -----

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  4. #2
    GuYem

    Re : convergence série

    euuh, déjà il faut préciser quelle est la variable, n ou k.

    Ensuite dans chacun de ces cas, je me dis que ça va pas converger ...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #3
    akabus47

    Re : convergence série



    Salut quel est l'indice de sommation?????????

  6. #4
    akabus47

    Re : convergence série

    De plus ta série me semble bizarre , le terme general n'est pas défini en k si k est entier et n l'ndice de sommation ; ou vice versa dans l'autre cas

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    akabus47

    Re : convergence série

    Si k est l'indice , on n'a pas de série a proprement dire car c'est une somme finie (définie comme la somme de k=0 a n-1

    Si n est l'indice , ton terme général n'est défini que pour n supérieur strict a k

    De plus , tu observeras que 1/sqrt(n) est un grand "O" ( grand O) de ton terme general .

    Taserie diverge donc apperement sauf grosse boulette de ma part



  9. #6
    indian58

    Re : convergence série

    désolé; la série est :

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  11. #7
    Ilùvatar

    Re : convergence série

    ça ne résout pas le problème, et il y a un problème de définition en k=n

    ca c'est le terme général de ta série? en tt cas si oui ca m'étonnerai que ca converge...

    sinon cf. akabus
    Bien médiocre est l'élève qui ne surpasse son maître.

  12. #8
    zinia

    Re : convergence série

    en fait il s'agirait d'une suite
    (j'ai modifié les bornes car sinon les termes extrêmes sont infinis)
    Avec cette réécriture, on a bien une suite convergente quand n tend vers l'infini car l'integrale donne pi

  13. #9
    indian58

    Re : convergence série

    désolé pour les bornes je n'avais pas fait attention. Justement, comment démontrer que cette suite tend vers l'intégrale?

  14. #10
    martini_bird

    Re : convergence série

    Salut,



    Et tu as une somme de Riemann.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  15. #11
    invite986312212
    Invité

    Re : convergence série

    ben moi je la vois infinie cette somme. c'est une série à deux indices k,n qui varient dans un triangle. Si on somme d'abord sur n ça m'a tout l'air de diverger.

  16. #12
    zinia

    Re : convergence série

    Citation Envoyé par ambrosio
    ben moi je la vois infinie cette somme. c'est une série à deux indices k,n qui varient dans un triangle. Si on somme d'abord sur n ça m'a tout l'air de diverger.
    Je pense qu'il s'agit tout simplement d'une suite : vers quoi tend la somme (sur k) lorsque n grandit ?.
    Sinon, bien sur ça diverge

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  18. #13
    invite986312212
    Invité

    Re : convergence série

    j'ai encore fait une remarque stoopide

  19. #14
    indian58

    Re : convergence série

    Désolé Martini_bird; ce N'est PAS une somme de Riemann.

  20. #15
    martini_bird

    Re : convergence série

    Citation Envoyé par indian58
    Désolé Martini_bird; ce N'est PAS une somme de Riemann.
    Ah ?

    J'aurais écrit que


    Qu'est-ce qui ne va pas ici ?
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  21. #16
    Bleyblue

    Re : convergence série

    Tiens c'est vrai que les défintions d'une série et d'une intégrale définie sont assez semblables.

    Une limite de somme de Riemann ce n'est donc qu'un cas bien particulier de série ?

  22. #17
    chwebij

    Re : convergence série

    Tiens c'est vrai que les défintions d'une série et d'une intégrale définie sont assez semblables.
    tu peux aussi remarquer que est l'equivalent pour les suites de la derivation pour les fonctions.

    jusqu'a n

    ca ressemble drolement, non!!

    dsl le tex est pas ma tasse de the

  23. #18
    matthias

    Re : convergence série

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Tiens c'est vrai que les défintions d'une série et d'une intégrale définie sont assez semblables.
    La théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue permet même de réunifier complètement les deux notions.

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  25. #19
    Bleyblue

    Re : convergence série

    Oui mais je ne connais pas encore ça

    Ca n'est pas particulièrement évident l'intégrale de Lebesgue il paraît ...

  26. #20
    Bleyblue

    Re : convergence série

    Citation Envoyé par chwebij
    tu peux aussi remarquer que est l'equivalent pour les suites de la derivation pour les fonctions.

    jusqu'a n

    ca ressemble drolement, non!!

    dsl le tex est pas ma tasse de the
    Si, c'est assez étrange ...

  27. #21
    indian58

    Re : convergence série

    Encore désolé Martini, mais dans le cours de taupe, on ne voit les sommes de Riemann que dans le cas de fonctions continues sur [a,b]; ce qui n'est pas ici le cas. Démontre moi alors que c'est la bonne limite.

  28. #22
    matthias

    Re : convergence série

    Ca se fait très bien avec le théorème de convergence dominée. Maintenant si tu veux une démonstration purement taupine, il faudrait le préciser.

  29. #23
    Ilùvatar

    Re : convergence série

    Citation Envoyé par chwebij
    tu peux aussi remarquer que est l'equivalent pour les suites de la derivation pour les fonctions.
    et avec une transformation d'Abel tu peux même obtenir l'équivalent de l'intégration par parties


    Citation Envoyé par indian58
    Encore désolé Martini, mais dans le cours de taupe, on ne voit les sommes de Riemann que dans le cas de fonctions continues sur [a,b]
    Ah wai? je vais peut-être rapidement relire mon cours (genre avant le 24avril ) pour éviter de me faire flinguer sur ça!
    Bien médiocre est l'élève qui ne surpasse son maître.

  30. #24
    indian58

    Re : convergence série

    Sincèrement désolé d'avoir de ne pas l'avoir préciser. Mais dans ce cas comment le démontre ton de manière taupinale??

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  32. #25
    martini_bird

    Re : convergence série

    Salut,

    posons : ta somme correspond à la méthode des rectangles pour évaluer l'aire sous la courbe représentative de f :



    De plus f admet une symétrie d'axe x=1/2 car f(x)=f(1-x) et f est décroissante sur ]0, 1/2], croissante sur [1/2, 1[.

    Donc si , alors

    De même si , alors

    Reste plus qu'à utiliser la relation de Chasle pour écrire que ta somme est majorée par


    avec . CQFD.

    Cordialement.

    EDIT : ici tu n'as que la majoration et la convergence de la série. Tu n'as en revanche pas sa valeur ().
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  33. #26
    matthias

    Re : convergence série

    Citation Envoyé par martini_bird
    EDIT : ici tu n'as que la majoration et la convergence de la série. Tu n'as en revanche pas sa valeur ().
    Et on peut faire une minoration de la même manière par l'intégrale entre 1/n et (n-1)/n + un terme qui tend vers 0 (qui correspond aux termes manquants vers 1/2).
    En utilisant la convergence de l'intégrale et la continuité ...

  34. #27
    indian58

    Re : convergence série

    Couper entre 0 et 1/2 et 1/2 et 1 était mon idée de départ. Cependant comment le faire dans un cas plus général avec une fonction non monotone sur aucun sous-intervalle??

  35. #28
    martini_bird

    Re : convergence série

    Salut,

    tu as vu beaucoup de fonctions intégrables monotones sur aucun intervalle ?

    Pour ce genre de fonctions, il n'y a pas le choix, il faut la théorie de Lebesgue.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  36. #29
    indian58

    Re : convergence série

    Ok, c'est bien ce que je pensais: de la cuisine et on espère que la fonction est gentille.

  37. #30
    Ilùvatar

    Re : convergence série

    Citation Envoyé par indian58
    Ok, c'est bien ce que je pensais: de la cuisine et on espère que la fonction est gentille.
    bah même si elle est assez méchante ya des chances pour qu'elle soit monotone sur un sous intervalle...
    Bien médiocre est l'élève qui ne surpasse son maître.

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