convergence série

**indian58** · 11/04/2006, 18h08

Comment montrer que la série de terme 1/sqrt(k*(n-k)) converge et quelle somme??

**GuYem** · 11/04/2006, 18h12

euuh, déjà il faut préciser quelle est la variable, n ou k.

Ensuite dans chacun de ces cas, je me dis que ça va pas converger ...

invite71b1f7de · 11/04/2006, 18h13

Salut quel est l'indice de sommation?????????

invite71b1f7de · 11/04/2006, 18h15

De plus ta série me semble bizarre , le terme general n'est pas défini en k si k est entier et n l'ndice de sommation ; ou vice versa dans l'autre cas

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite71b1f7de · 11/04/2006, 18h24

Si k est l'indice , on n'a pas de série a proprement dire car c'est une somme finie (définie comme la somme de k=0 a n-1

Si n est l'indice , ton terme général n'est défini que pour n supérieur strict a k

De plus , tu observeras que 1/sqrt(n) est un grand "O" ( grand O) de ton terme general .

Taserie diverge donc apperement sauf grosse boulette de ma part

**indian58** · 12/04/2006, 08h50

désolé; la série est :
$\text{[math]}$

invite578a92be · 12/04/2006, 09h24

ça ne résout pas le problème, et il y a un problème de définition en k=n

ca c'est le terme général de ta série? en tt cas si oui ca m'étonnerai que ca converge...

sinon cf. akabus

invite636fa06b · 12/04/2006, 11h08

en fait il s'agirait d'une suite
$\text{[math]}$ (j'ai modifié les bornes car sinon les termes extrêmes sont infinis)
Avec cette réécriture, on a bien une suite convergente quand n tend vers l'infini car l'integrale donne pi

**indian58** · 12/04/2006, 11h44

désolé pour les bornes je n'avais pas fait attention. Justement, comment démontrer que cette suite tend vers l'intégrale?

**martini_bird** · 12/04/2006, 11h57

Salut,

$\text{[math]}$

Et tu as une somme de Riemann.

Cordialement.

invite986312212 · 12/04/2006, 11h59

ben moi je la vois infinie cette somme. c'est une série à deux indices k,n qui varient dans un triangle. Si on somme d'abord sur n ça m'a tout l'air de diverger.

invite636fa06b · 12/04/2006, 13h56

Envoyé par ambrosio

ben moi je la vois infinie cette somme. c'est une série à deux indices k,n qui varient dans un triangle. Si on somme d'abord sur n ça m'a tout l'air de diverger.

Je pense qu'il s'agit tout simplement d'une suite : vers quoi tend la somme (sur k) lorsque n grandit ?.
Sinon, bien sur ça diverge

invite986312212 · 12/04/2006, 14h03

j'ai encore fait une remarque stoopide

**indian58** · 12/04/2006, 14h55

Désolé Martini_bird; ce N'est PAS une somme de Riemann.

**martini_bird** · 12/04/2006, 18h45

Envoyé par indian58

Désolé Martini_bird; ce N'est PAS une somme de Riemann.

Ah ?

J'aurais écrit que
$\text{[math]}$

Qu'est-ce qui ne va pas ici ?

**Bleyblue** · 12/04/2006, 19h15

Tiens c'est vrai que les défintions d'une série et d'une intégrale définie sont assez semblables.

Une limite de somme de Riemann ce n'est donc qu'un cas bien particulier de série ?

**chwebij** · 12/04/2006, 19h43

Tiens c'est vrai que les défintions d'une série et d'une intégrale définie sont assez semblables.

tu peux aussi remarquer que $\text{[math]}$ est l'equivalent pour les suites de la derivation pour les fonctions.
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ jusqu'a n $\text{[math]}$

ca ressemble drolement, non!!

dsl le tex est pas ma tasse de the

**matthias** · 12/04/2006, 19h53

Envoyé par Bleyblue

Tiens c'est vrai que les défintions d'une série et d'une intégrale définie sont assez semblables.

La théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue permet même de réunifier complètement les deux notions.

**Bleyblue** · 12/04/2006, 20h07

Oui mais je ne connais pas encore ça

Ca n'est pas particulièrement évident l'intégrale de Lebesgue il paraît ...

**Bleyblue** · 12/04/2006, 20h24

Envoyé par chwebij

tu peux aussi remarquer que $\text{[math]}$ est l'equivalent pour les suites de la derivation pour les fonctions.
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ jusqu'a n $\text{[math]}$

ca ressemble drolement, non!!

dsl le tex est pas ma tasse de the

Si, c'est assez étrange ...

**indian58** · 12/04/2006, 22h08

Encore désolé Martini, mais dans le cours de taupe, on ne voit les sommes de Riemann que dans le cas de fonctions continues sur [a,b]; ce qui n'est pas ici le cas. Démontre moi alors que c'est la bonne limite.

**matthias** · 12/04/2006, 23h33

Ca se fait très bien avec le théorème de convergence dominée. Maintenant si tu veux une démonstration purement taupine, il faudrait le préciser.

invite578a92be · 13/04/2006, 05h48

Envoyé par chwebij

tu peux aussi remarquer que $\text{[math]}$ est l'equivalent pour les suites de la derivation pour les fonctions.

et avec une transformation d'Abel tu peux même obtenir l'équivalent de l'intégration par parties

Envoyé par indian58

Encore désolé Martini, mais dans le cours de taupe, on ne voit les sommes de Riemann que dans le cas de fonctions continues sur [a,b]

Ah wai? je vais peut-être rapidement relire mon cours (genre avant le 24avril

) pour éviter de me faire flinguer sur ça!

**indian58** · 13/04/2006, 10h44

Sincèrement désolé d'avoir de ne pas l'avoir préciser. Mais dans ce cas comment le démontre ton de manière taupinale??

**martini_bird** · 13/04/2006, 11h56

Salut,

posons $\text{[math]}$ : ta somme $\text{[math]}$ correspond à la méthode des rectangles pour évaluer l'aire sous la courbe représentative de f :

$\text{[math]}$

De plus f admet une symétrie d'axe x=1/2 car f(x)=f(1-x) et f est décroissante sur ]0, 1/2], croissante sur [1/2, 1[.

Donc si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$

De même si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$

Reste plus qu'à utiliser la relation de Chasle pour écrire que ta somme est majorée par
$\text{[math]}$

avec $\text{[math]}$ . CQFD.

Cordialement.

EDIT : ici tu n'as que la majoration et la convergence de la série. Tu n'as en revanche pas sa valeur ( $\text{[math]}$ ).

**matthias** · 13/04/2006, 13h30

Envoyé par martini_bird

EDIT : ici tu n'as que la majoration et la convergence de la série. Tu n'as en revanche pas sa valeur ( $\text{[math]}$ ).

Et on peut faire une minoration de la même manière par l'intégrale entre 1/n et (n-1)/n + un terme qui tend vers 0 (qui correspond aux termes manquants vers 1/2).
En utilisant la convergence de l'intégrale et la continuité ...

**indian58** · 13/04/2006, 22h22

Couper entre 0 et 1/2 et 1/2 et 1 était mon idée de départ. Cependant comment le faire dans un cas plus général avec une fonction non monotone sur aucun sous-intervalle??

**martini_bird** · 14/04/2006, 10h13

Salut,

tu as vu beaucoup de fonctions intégrables monotones sur aucun intervalle ?

Pour ce genre de fonctions, il n'y a pas le choix, il faut la théorie de Lebesgue.

Cordialement.

**indian58** · 14/04/2006, 11h47

Ok, c'est bien ce que je pensais: de la cuisine et on espère que la fonction est gentille.

invite578a92be · 14/04/2006, 11h59

Envoyé par indian58

Ok, c'est bien ce que je pensais: de la cuisine et on espère que la fonction est gentille.

bah même si elle est assez méchante ya des chances pour qu'elle soit monotone sur un sous intervalle...

convergence série

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Re : convergence série

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