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Convergence de série



  1. #1
    Bleyblue

    Convergence de série


    ------

    Bonjour,

    Après avoir prouver la convergence uniforme de la série :



    pour x dans l'intervalle [1/2, 1]

    Je cherche à étudier la convergence de la série dérivée.

    La série dérivée est donc :



    Pour x = 1/2 cette série diverge (il suffit d'injecter pour s'en rendre compte) et pour x > 1/2 j'ai :









    et la série converge

    donc par le théorème de Weierstrass la série des dérivées converge uniformément sur ]1/2, 1]

    Pouvez-vous me dire si ça fonctionne ça ?

    merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    MMu

    Re : Convergence de série

    Ok

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Convergence de série

    Fort bien !

    Saurais-tu comment je pourrais alors en déduire que :

    ?

    Ca ne me dit pas grand chose.
    Il faut sans doute se servir du fait que la série dérivée est une série géométrique et calculer sa somme, mais je ne vois pas comment en déduire ce résultat.

    merci

  5. #4
    homotopie

    Re : Convergence de série

    Tu as déjà le début.
    Posons F la fonction égale à la série continue sur [1/2;1]
    Tu as montré que F est dérivable sur ]1/2;1] (on ne sait encore rien en 1/2).
    Tu as calculé f=F' sous forme de série dont tu t'es rendu compte que tu peux l'exprimer sous une forme dite fermée car c'est une série géométrique.
    Maintenant que f est sous une forme fermée tu peux calculer F sur ]1/2;1] à une constante près que tu détermines en choisissant une valeur de x qui va bien.
    Puis, tu prolonges par continuité en 1/2. Tu devrais obtenir ce qu'il faut.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bleyblue

    Re : Convergence de série

    Ah oui juste j'ai alors :

    sur ]1/2, 1] et si j'évalue ça en 1/2 ça me livre ce qu'il faut mais évidemment ce n'est pas valable comme ça car on ne sait rien sur la dérivée en 1/2.

    Je dois prolonger par continuité tu dis ? Je ne suis pas sûr de ce que cela veut dire, prolonger par continuité pour moi c'est faire quelque chose comme :

    sin(x)/x n'est pas définie en 0 mais sa limite quand x tend vers 0 est 1 donc on prolonge la fonction par continuité en définissant une fonction f égale à sin(x)/x si x non nul et à 1 sinon

    Et ici je dois me débrouiller pour faire pareil avec la dérivée en 1/2 ?

    merci !

  8. #6
    homotopie

    Re : Convergence de série

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Ah oui juste j'ai alors :

    sur ]1/2, 1] et si j'évalue ça en 1/2 ça me livre ce qu'il faut mais évidemment ce n'est pas valable comme ça car on ne sait rien sur la dérivée en 1/2.
    Là où tu en est tu n'as plus besoin de la dérivée. Tu as montré que la fonction F définie par cette série est continue sur [1/2;1].
    Donc tu as .

  9. Publicité
  10. #7
    Bleyblue

    Re : Convergence de série

    Ah oui juste !

    Bigre c'est une belle application d'un théorème vu au cours ça.
    Je parie la réussite de mon examen d'analyse que le prof posera une question du style.

    Encore une fois homotopie merci (et n'oublie pas si tu passes à bxl )

    merci aussi à MMu pour avoir vérifier mon raisonnement

  11. #8
    homotopie

    Re : Convergence de série

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Ah oui juste !

    Bigre c'est une belle application d'un théorème vu au cours ça.
    Je parie la réussite de mon examen d'analyse que le prof posera une question du style.
    Oui, c'est une technique assez usuelle pour "faire cracher sa valda" à des séries semi-convergentes. Mais il y en a d'autres alors ne parie pas trop vite.
    Citation Envoyé par Bleyblue
    Encore une fois homotopie merci (et n'oublie pas si tu passes à bxl )
    Je n'oublie pas mais je n'ai pas encore eu l'occasion.

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