Démontrer qu'un nombre est irrationnel

[Bleyblue]

Bonjour,

Je dois prouver que (k et n des naturels) soit est naturel soit est irrationnel.
J'ai comme aide la remarque suivante : "tout naturel admet une décomposition unique en facteurs premiers"

Je démarre comme ça mais je suis quand même bloquer :



avec n1, ... ,na des nombres premiers distincts
s1,s2, ... ,sn des nombres entiers naturels

1) Soit les s1,s2,...,sa sont tous des multiples de k et alors n^(1/k) est un produit de naturels car si/k sont tous des naturels (1 <= i <= a)

2) Soit il existe un si tel que si n'est pas un multiple de k et alors n^(1/k) est irrationnel

Comment pourrais-je bien montrer ce point 2 ? J'ai bien essayé mais ça ne me donne rien ...

Vous avez une idée ?

merci
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,

En gros ça se ramène à prouver que, pour p premier, p^s/k n'est pas rationnel si s n'est pas multiple de k.

Si p^s/k était rationnel = a/b, en élevant à la puissance k on obtient a^k = b^k.p^s. Considère les décompositions de a et b en facteurs premiers (ils n'en ont aucun en commun si a et b sont premiers entre eux, ce qu'on peut toujours supposer) et compte les facteurs.

-- françois

[invite636fa06b]

bonjour,
en général, ce genre de choses se démontre par l'absurde. Tu supposes qu'il existe un rationnel p/q irréductible qui satisfait à ta relation, tu écris que p^k=nq^k et tu regardes ce qui se passe pour un diviseur premier de p...

[Bleyblue]

Mais il faudrait alors que je montre que le produit de deux irrationnels est un irrationnel ce qui n'est pas tout le temps vrai vu que

(ils n'en ont aucun en commun si a et b sont premiers entre eux, ce qu'on peut toujours supposer) et compte les facteurs.

Compter les facteurs ? Pour quoi faire ?
Je ne comprend pas ...

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Non ça va j'arrive à le montrer.

Mais je dois encore montrer que si p^(1/k) est composé de deux (ou plus de deux) facteurs irrationnels alors le produit de ces irrationnels est encore irrationnel

[invite636fa06b]

Non ça va j'arrive à le montrer.

Mais je dois encore montrer que si p^(1/k) est composé de deux (ou plus de deux) facteurs irrationnels alors le produit de ces irrationnels est encore irrationnel

Tu te compliques trop la vie. Pose n'(b^k)=n où b^k est le plus grand facteur dont la puissance k divise n.
Si n'=1 alors la racine kième de n est entière.

Sinon p^k=n'q^k avec p et q premiers entre eux.
Soit a un diviseur premier de p, a^k ne peut pas diviser ni n' (car on a éliminé les facteurs présents 6 fois) ni q puisque p et q sont premiers entre eux.
Donc p/q ne peut exister CQFD

[Bleyblue]

Ah bon.

J'aurais bien voulut y arriver par moi même mais merci beaucoup !

[invite7cf6f611]

salut tous le monde .
j'aime si vous voulez savoir commebt savoir que " pi .. e .." sont irrationels.
merci

[invitec418c418]

Pi et e ne sont pas irrationnels : ils sont transcendants

[invitec418c418]

Sinon Bleyblue, pour ta démonstration, tu aurais pu utiliser les valuations p-adiques, je pense.

[Médiat]

Pi et e ne sont pas irrationnels : ils sont transcendants

Il est exact qu'ils sont transcendants (donc pas algébriques), donc ils sont irrationnels.

[inviteb0df2270]

Il est exact qu'ils sont transcendants (donc pas algébriques), donc ils sont irrationnels.

Et je rajouterais que les démonstrations ne sont pas à la portée de tous

[invitec053041c]

Et je rajouterais que les démonstrations ne sont pas à la portée de tous

En effet, j'ai entrevu la démonstration de l'irrationnalité de Pi par des intégrales "judicieuses", et je vais avouer que ça n'est pas d'une simplicité déconcertante. Et je ne parle pas de la transcendance dont je ne connais pas de démontration !

[Bleyblue]

En effet, j'ai entrevu la démonstration de l'irrationnalité de Pi par des intégrales "judicieuses"

Ah oui je pense que j'ai ça quelque part dans mon cours d'analyse de l'an dernier, mais j'ai jamais regardé de près
Ca avait l'aire assez dur, je peux retrouver ça si ça intéresse quelqu'un

[invite7cf6f611]

pour demontrer que " e " est irrationnel je ponse la reponse est dans ce lien:

: http://upload.9q9q.net/file/UVTPspdc6fA/126_2_1010_3_1_

[invite7ffe9b6a]

Pour montrer que e est irrationnel on peut s'interesser à deux suites:




On montre qu'elle sont adjacentes et tendent vers e.

En faite,



(cela se montre en appliquant la formule de taylor lagrange à la fonction exponentielle sur l'intervalle [0;1])


Ensuite on suppose que e=p/q donc que qe est entier et q!e aussi.

Montrons que
q!Uq est entier puis que q!Uq<q!e<q!(Uq+1)


et donc que q!e n'est pas un entier car

[invite35452583]

Pour l'irrationnalité de pi, il ne faut pas chercher plus loin qu'ici irrationnalité de pi
La démo sur le lien a encore des trous mais peut être corrigée.
Il est supposé que pi=a/b a et b entiers (qui existeraient si pi est rationnel)
On pose pour n entier >0 :
On peut montrer :
1) In est un entier pour tout entier n>0
2) In>0 pour tout entier n
3) lim(In)=0 quand n tend vers l'infini
Il y a évidemment contradiction entre 1), 2) d'une part et 3) d'autre part.
1) L'idée de Martini_Bird et de Ksilver est bonne mais, me semble-t-il, un peu plus délicate qu'ils ne laissaient sous-entendre dans le fil à mon avis
On pose P le polynôme P(X)=X(a-bX), on a P'(X)=a-2bX ; et pour m et n entiers naturels :


i) Comme la Z-algègre est stable par dérivation.
ii) De plus, comme P(a/b)=P(a/b)=0 et P'(0)=-P'(a/b)=-a sont entiers on a pour tout couple (m,n) P_m,n(0) et P_m,n(a/b) sont entiers. (Tant qu'il y a du "1/n!" P s'annule, après il n'y a plus de "1/n!" c'est donc toujours entier)
Tout est là, il ne reste que les détails techniques (la seule difficulté c'est de l'écrire) :
Montrons maintenant que et est entier pour tout couple d'entiers (m,n).
Preuve par récurrence sur le degré de P_m,n (=m+2n).
H_d : pour tout couple m,n tel que m+2n<=d J_m,n et Km,n sont entiers.
Pour H₀, on a

Supposons que H_d soit vrai, et soit P_m,n tel que m+n=2d+1. On a en intégrant par parties (sinus étant la fonction dont on prend la primitive) :

Le premier terme est entier car P_m-1,n, P_m+1,n-1 et cos sont entiers aux bornes, et le second terme est m.K_m-1,n+K_m+1,n-1 qui est donc entier par hypothèse de récurrence.
De même on calcule que Km,n=[(mP_{m-1,n}(x)+P_{m+1,n-1}(x))sin(x)]₀^a/b-mJ_m-1,n-J_m+1,n-1 qui est entier pour les mêmes raisons.
Comme I_n=J_0,n pour tout n, les I_n sont entiers.
(En partant de I_n, on a en fait que des J_m,n pour m+2n pair et K_m,n pour m+2n impairs mais autant tout montrer de toute façon on doit passer par les cos).

2) P et sinus sont strictement positifs sur ]0 ; a/b[ donc I_n est strictement positifs.

3) P est un polynôme qui atteint son maximum a²/(4b) en x=a/2b. La fonction sinus est majorée par 1. On a :
où c=a/b(=pi) et q=a²/4b sont constants. I_n tend donc vers 0 (diviser par n n'était donc pas suffisant)

CQFD

[Médiat]

C'est beau tellement c'est simple (une fois qu'on a eu l'idée géniale) !

Deux petites fautes de frappe, il me semble
ligne ii :
P(a/b)=P(a/b)=0 et P'(0)=-P'(a/b)=-a
doit sans doute être remplacé par
P(a/b)=P(0)=0 et P'(0)=-P'(a/b)=a.

L'expression de à la fin


doit sans doute être remplacée par

Et même chose pour K_m,n

Un petit problème Latex, aussi dans l'expression de , il y a un frac mal interprété par le compilateur Latex, il suffit d'ajouter un espace avant \frac pour que cela passe :
\int_0^{ \frac{a}{b}}

[Médiat]

Arrgh, j'ai aussi un problème avec

je trouve

Si je ne me trompe pas cela remet en cause, sur la forme, pas sur le fond, la suite des calculs sur les intégrales.

[invite35452583]

Tu as raison cher papa, j'ai laissé pas mal de coquilles, sans conséquence sur le fond, mais ça gache le plaisir. En plus je trouve que la forme trop "scolaire" de la preuve fait la part trop belle à des aspects techniques secondaires (dans lesquels je me suis lamentablement vautré il devait trainer des lacets non défaits ). Je trouve que cette réécriture moins "académique" (mais plus digeste je trouve) est meilleure, non ? :

Irrationnalité de
Il est supposé que a et b entiers.
On pose pour n entier >0 :
On va montrer :
1) I_n est un entier pour tout entier n>0 et I_n>0 pour tout entier n
2)
Il y a évidemment contradiction entre 1) et 2) ce qui montrera que l'hypothèse rationnel est absurde.

Pour montrer la 1^ère partie du point 1, on pose
P=X(a-bX), on a P'(X)=a-2bX ;
pour m et n entiers naturels :
On va montrer par récurrence sur le degré des P_m,n que est entier pour tous les entiers m, n, c et s. Ceci montrera la 1^ère partie du point 1 car I_n=J_0,n,0,1.

a) remarquons d'abord que
pour n>0 (et =1 pour n=0) ;
P'(0)=-P'(a/b)=-a sont entiers de même que cos(0), cos(a/b), sin(0), sin(a/b), puisque
On a donc pour tout couple d'entiers (m,n) et tout couple d'entiers (c,s)
Or, comme

Le membre de gauche est entier si et seulement si le deuxième terme du membre de droite est entier.

b) Or, on a donc

Comme -2mb est entier, il suffit de montrer l'hypothèse pour un degré=degré(P_m,n)-1.

c) Il suffit désormais de montrer l'assertion pour deg(P_m,n)=0, à savoir que
est entier pour tout couple d'entiers (c,s).
Or, un calcul élémentaire montre que J_0,0,c,s=2s qui est entier.
Ceci finit la preuve de la 1^ère partie du point 1.

La 2^nde partie du point 1 est la conséquence directe des faits que P et sinus sont strictement positifs sur ]0 ; a/b[.

On montre le point 2 en encadrant :
P est un polynôme qui atteint son maximum a²/(4b) en x=a/2b.
La fonction sinus est majorée par 1.
On a donc :
avec a²/4b constant. I_n tend donc vers 0.

PS : l'idée transmise par Gpapide est en effet superbe de simplicité (nettement plus que par les fractions continues qui une fois établie, oui c'est joli, mais quelle galère pour montrer les formules).

[Médiat]

Je trouve que cette réécriture moins "académique" (mais plus digeste je trouve) est meilleure, non ?

Toujours une faute de frappe ou c'est moi ? P'(0)=-P'(a/b)=a (sans le signe moins devant le a)

Sur le fond, je trouve que cette version est certes plus épurée, mais je lui trouve un défaut (que l'on me pardonne cette première outrecuidance), elle ressemble à ce qu'elle est : une deuxième version (l'auteur peaufine et va directement à l'essentiel). Je veux dire que (de la première version) a l'air moins parachuté que , et l'apparition de après est tellement classique qu'on y pense avant de le lire.

Si je puis donner un conseil aux lecteurs (que l'on me pardonne cette dernière outrecuidance) ce serait de lire rapidement ta première version, puisqu'on y voit le mécanisme de mettre en place, puis de lire plus attentivement la deuxième (une fois que l'on a compris où tu veux en venir).

En tout état de cause : merci à gpapide et toi de ce beau cadeau.

[invite35452583]

Une deuxième coquille s'est glissée :
doit être corrigée en :

Tes remarques, Médiat, sont justes (la seconde est sans doute moins facile à lire pour des non habitués qui ne voient pas forcément arriver le processus).

[invite35452583]

La remarque suivante : P'²=a²-4bP permet de récurrer sur les seuls I_n.

On montre que I_n est entier par récurrence.
Pour cela on intègre par parties deux fois I_n.
On a pour tout entier n>0, en posant P(x)=x(a-bx)

Le 1^er crochet est nul car Pⁿ s'annule aux bornes pour tout n>0, le 2^nd crochet est nul car sinus s'annule aux bornes.
On a pour tout n>0
D'où pour n>1
Or, donc

on en déduit que I_n=2b(2n-1).I_n-1-a².I_n-2 pour n>1
Pour n=1, donc I₁=2b.I₀
Dans tous les cas I_n est entier si les I_m pour m<n sont entiers.
Pour terminer, on remarque que est entier.