Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 23 sur 23

Démontrer qu'un nombre est irrationnel

  1. #1
    Bleyblue

    Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Bonjour,

    Je dois prouver que (k et n des naturels) soit est naturel soit est irrationnel.
    J'ai comme aide la remarque suivante : "tout naturel admet une décomposition unique en facteurs premiers"

    Je démarre comme ça mais je suis quand même bloquer :



    avec n1, ... ,na des nombres premiers distincts
    s1,s2, ... ,sn des nombres entiers naturels

    1) Soit les s1,s2,...,sa sont tous des multiples de k et alors n^(1/k) est un produit de naturels car si/k sont tous des naturels (1 <= i <= a)

    2) Soit il existe un si tel que si n'est pas un multiple de k et alors n^(1/k) est irrationnel

    Comment pourrais-je bien montrer ce point 2 ? J'ai bien essayé mais ça ne me donne rien ...

    Vous avez une idée ?

    merci

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    fderwelt

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Bonjour,

    En gros ça se ramène à prouver que, pour p premier, ps/k n'est pas rationnel si s n'est pas multiple de k.

    Si ps/k était rationnel = a/b, en élevant à la puissance k on obtient ak = bk.ps. Considère les décompositions de a et b en facteurs premiers (ils n'en ont aucun en commun si a et b sont premiers entre eux, ce qu'on peut toujours supposer) et compte les facteurs.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  4. #3
    zinia

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    bonjour,
    en général, ce genre de choses se démontre par l'absurde. Tu supposes qu'il existe un rationnel p/q irréductible qui satisfait à ta relation, tu écris que p^k=nq^k et tu regardes ce qui se passe pour un diviseur premier de p...

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Mais il faudrait alors que je montre que le produit de deux irrationnels est un irrationnel ce qui n'est pas tout le temps vrai vu que

    Citation Envoyé par fderwelt
    (ils n'en ont aucun en commun si a et b sont premiers entre eux, ce qu'on peut toujours supposer) et compte les facteurs.
    Compter les facteurs ? Pour quoi faire ?
    Je ne comprend pas ...

    merci

  6. #5
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Non ça va j'arrive à le montrer.

    Mais je dois encore montrer que si p^(1/k) est composé de deux (ou plus de deux) facteurs irrationnels alors le produit de ces irrationnels est encore irrationnel

  7. #6
    zinia

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Non ça va j'arrive à le montrer.

    Mais je dois encore montrer que si p^(1/k) est composé de deux (ou plus de deux) facteurs irrationnels alors le produit de ces irrationnels est encore irrationnel
    Tu te compliques trop la vie. Pose n'(b^k)=n où b^k est le plus grand facteur dont la puissance k divise n.
    Si n'=1 alors la racine kième de n est entière.

    Sinon p^k=n'q^k avec p et q premiers entre eux.
    Soit a un diviseur premier de p, a^k ne peut pas diviser ni n' (car on a éliminé les facteurs présents 6 fois) ni q puisque p et q sont premiers entre eux.
    Donc p/q ne peut exister CQFD

  8. #7
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Ah bon.

    J'aurais bien voulut y arriver par moi même mais merci beaucoup !

  9. #8
    cheria2005

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    salut tous le monde .
    j'aime si vous voulez savoir commebt savoir que " pi .. e .." sont irrationels.
    merci

  10. #9
    Guillaume.B

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Pi et e ne sont pas irrationnels : ils sont transcendants

  11. #10
    Guillaume.B

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Sinon Bleyblue, pour ta démonstration, tu aurais pu utiliser les valuations p-adiques, je pense.

  12. #11
    Médiat

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Citation Envoyé par Guillaume.B Voir le message
    Pi et e ne sont pas irrationnels : ils sont transcendants
    Il est exact qu'ils sont transcendants (donc pas algébriques), donc ils sont irrationnels.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #12
    Theyggdrazil

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il est exact qu'ils sont transcendants (donc pas algébriques), donc ils sont irrationnels.
    Et je rajouterais que les démonstrations ne sont pas à la portée de tous
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)

  14. #13
    Ledescat

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Citation Envoyé par Theyggdrazil Voir le message
    Et je rajouterais que les démonstrations ne sont pas à la portée de tous
    En effet, j'ai entrevu la démonstration de l'irrationnalité de Pi par des intégrales "judicieuses", et je vais avouer que ça n'est pas d'une simplicité déconcertante. Et je ne parle pas de la transcendance dont je ne connais pas de démontration !
    Cogito ergo sum.

  15. #14
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Citation Envoyé par ledescat
    En effet, j'ai entrevu la démonstration de l'irrationnalité de Pi par des intégrales "judicieuses"
    Ah oui je pense que j'ai ça quelque part dans mon cours d'analyse de l'an dernier, mais j'ai jamais regardé de près
    Ca avait l'aire assez dur, je peux retrouver ça si ça intéresse quelqu'un

  16. #15
    cheria2005

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel



    pour demontrer que " e " est irrationnel je ponse la reponse est dans ce lien:

    : http://upload.9q9q.net/file/UVTPspdc6fA/126_2_1010_3_1_

  17. #16
    Antho07

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Pour montrer que e est irrationnel on peut s'interesser à deux suites:




    On montre qu'elle sont adjacentes et tendent vers e.

    En faite,



    (cela se montre en appliquant la formule de taylor lagrange à la fonction exponentielle sur l'intervalle [0;1])


    Ensuite on suppose que e=p/q donc que qe est entier et q!e aussi.

    Montrons que
    q!Uq est entier puis que q!Uq<q!e<q!(Uq+1)


    et donc que q!e n'est pas un entier car

  18. #17
    homotopie

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Pour l'irrationnalité de pi, il ne faut pas chercher plus loin qu'ici irrationnalité de pi
    La démo sur le lien a encore des trous mais peut être corrigée.
    Il est supposé que pi=a/b a et b entiers (qui existeraient si pi est rationnel)
    On pose pour n entier >0 :
    On peut montrer :
    1) In est un entier pour tout entier n>0
    2) In>0 pour tout entier n
    3) lim(In)=0 quand n tend vers l'infini
    Il y a évidemment contradiction entre 1), 2) d'une part et 3) d'autre part.
    1) L'idée de Martini_Bird et de Ksilver est bonne mais, me semble-t-il, un peu plus délicate qu'ils ne laissaient sous-entendre dans le fil à mon avis
    On pose P le polynôme P(X)=X(a-bX), on a P'(X)=a-2bX ; et pour m et n entiers naturels :


    i) Comme la Z-algègre est stable par dérivation.
    ii) De plus, comme P(a/b)=P(a/b)=0 et P'(0)=-P'(a/b)=-a sont entiers on a pour tout couple (m,n) Pm,n(0) et Pm,n(a/b) sont entiers. (Tant qu'il y a du "1/n!" P s'annule, après il n'y a plus de "1/n!" c'est donc toujours entier)
    Tout est là, il ne reste que les détails techniques (la seule difficulté c'est de l'écrire) :
    Montrons maintenant que et est entier pour tout couple d'entiers (m,n).
    Preuve par récurrence sur le degré de Pm,n (=m+2n).
    Hd : pour tout couple m,n tel que m+2n<=d Jm,n et Km,n sont entiers.
    Pour H0, on a

    Supposons que Hd soit vrai, et soit Pm,n tel que m+n=2d+1. On a en intégrant par parties (sinus étant la fonction dont on prend la primitive) :

    Le premier terme est entier car Pm-1,n, Pm+1,n-1 et cos sont entiers aux bornes, et le second terme est m.Km-1,n+Km+1,n-1 qui est donc entier par hypothèse de récurrence.
    De même on calcule que Km,n=[(mP_{m-1,n}(x)+P_{m+1,n-1}(x))sin(x)]0a/b-mJm-1,n-Jm+1,n-1 qui est entier pour les mêmes raisons.
    Comme In=J0,n pour tout n, les In sont entiers.
    (En partant de In, on a en fait que des Jm,n pour m+2n pair et Km,n pour m+2n impairs mais autant tout montrer de toute façon on doit passer par les cos).

    2) P et sinus sont strictement positifs sur ]0 ; a/b[ donc In est strictement positifs.

    3) P est un polynôme qui atteint son maximum a²/(4b) en x=a/2b. La fonction sinus est majorée par 1. On a :
    où c=a/b(=pi) et q=a²/4b sont constants. In tend donc vers 0 (diviser par n n'était donc pas suffisant)

    CQFD

  19. #18
    Médiat

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    C'est beau tellement c'est simple (une fois qu'on a eu l'idée géniale) !

    Deux petites fautes de frappe, il me semble
    ligne ii :
    P(a/b)=P(a/b)=0 et P'(0)=-P'(a/b)=-a
    doit sans doute être remplacé par
    P(a/b)=P(0)=0 et P'(0)=-P'(a/b)=a.

    L'expression de à la fin


    doit sans doute être remplacée par

    Et même chose pour Km,n

    Un petit problème Latex, aussi dans l'expression de , il y a un frac mal interprété par le compilateur Latex, il suffit d'ajouter un espace avant \frac pour que cela passe :
    \int_0^{ \frac{a}{b}}
    Dernière modification par Médiat ; 27/10/2007 à 06h17.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #19
    Médiat

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Arrgh, j'ai aussi un problème avec

    je trouve

    Si je ne me trompe pas cela remet en cause, sur la forme, pas sur le fond, la suite des calculs sur les intégrales.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  21. #20
    homotopie

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Tu as raison cher papa, j'ai laissé pas mal de coquilles, sans conséquence sur le fond, mais ça gache le plaisir. En plus je trouve que la forme trop "scolaire" de la preuve fait la part trop belle à des aspects techniques secondaires (dans lesquels je me suis lamentablement vautré il devait trainer des lacets non défaits ). Je trouve que cette réécriture moins "académique" (mais plus digeste je trouve) est meilleure, non ? :

    Irrationnalité de
    Il est supposé que a et b entiers.
    On pose pour n entier >0 :
    On va montrer :
    1) In est un entier pour tout entier n>0 et In>0 pour tout entier n
    2)
    Il y a évidemment contradiction entre 1) et 2) ce qui montrera que l'hypothèse rationnel est absurde.

    Pour montrer la 1ère partie du point 1, on pose
    P=X(a-bX), on a P'(X)=a-2bX ;
    pour m et n entiers naturels :
    On va montrer par récurrence sur le degré des Pm,n que est entier pour tous les entiers m, n, c et s. Ceci montrera la 1ère partie du point 1 car In=J0,n,0,1.

    a) remarquons d'abord que
    pour n>0 (et =1 pour n=0) ;
    P'(0)=-P'(a/b)=-a sont entiers de même que cos(0), cos(a/b), sin(0), sin(a/b), puisque
    On a donc pour tout couple d'entiers (m,n) et tout couple d'entiers (c,s)
    Or, comme

    Le membre de gauche est entier si et seulement si le deuxième terme du membre de droite est entier.

    b) Or, on a donc

    Comme -2mb est entier, il suffit de montrer l'hypothèse pour un degré=degré(Pm,n)-1.

    c) Il suffit désormais de montrer l'assertion pour deg(Pm,n)=0, à savoir que
    est entier pour tout couple d'entiers (c,s).
    Or, un calcul élémentaire montre que J0,0,c,s=2s qui est entier.
    Ceci finit la preuve de la 1ère partie du point 1.

    La 2nde partie du point 1 est la conséquence directe des faits que P et sinus sont strictement positifs sur ]0 ; a/b[.

    On montre le point 2 en encadrant :
    P est un polynôme qui atteint son maximum a²/(4b) en x=a/2b.
    La fonction sinus est majorée par 1.
    On a donc :
    avec a²/4b constant. In tend donc vers 0.

    PS : l'idée transmise par Gpapide est en effet superbe de simplicité (nettement plus que par les fractions continues qui une fois établie, oui c'est joli, mais quelle galère pour montrer les formules).

  22. #21
    Médiat

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Je trouve que cette réécriture moins "académique" (mais plus digeste je trouve) est meilleure, non ?
    Toujours une faute de frappe ou c'est moi ? P'(0)=-P'(a/b)=a (sans le signe moins devant le a)

    Sur le fond, je trouve que cette version est certes plus épurée, mais je lui trouve un défaut (que l'on me pardonne cette première outrecuidance), elle ressemble à ce qu'elle est : une deuxième version (l'auteur peaufine et va directement à l'essentiel). Je veux dire que (de la première version) a l'air moins parachuté que , et l'apparition de après est tellement classique qu'on y pense avant de le lire.

    Si je puis donner un conseil aux lecteurs (que l'on me pardonne cette dernière outrecuidance) ce serait de lire rapidement ta première version, puisqu'on y voit le mécanisme de mettre en place, puis de lire plus attentivement la deuxième (une fois que l'on a compris où tu veux en venir).

    En tout état de cause : merci à gpapide et toi de ce beau cadeau.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  23. #22
    homotopie

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Une deuxième coquille s'est glissée :
    doit être corrigée en :

    Tes remarques, Médiat, sont justes (la seconde est sans doute moins facile à lire pour des non habitués qui ne voient pas forcément arriver le processus).

  24. #23
    homotopie

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    La remarque suivante : P'²=a²-4bP permet de récurrer sur les seuls In.

    On montre que In est entier par récurrence.
    Pour cela on intègre par parties deux fois In.
    On a pour tout entier n>0, en posant P(x)=x(a-bx)

    Le 1er crochet est nul car Pn s'annule aux bornes pour tout n>0, le 2nd crochet est nul car sinus s'annule aux bornes.
    On a pour tout n>0
    D'où pour n>1
    Or, donc

    on en déduit que In=2b(2n-1).In-1-a².In-2 pour n>1
    Pour n=1, donc I1=2b.I0
    Dans tous les cas In est entier si les Im pour m<n sont entiers.
    Pour terminer, on remarque que est entier.

Discussions similaires

  1. Démontrer qu'un suite est géométrique
    Par mimicaro dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 16
    Dernier message: 25/10/2016, 21h10
  2. dm sur demontrer qu'un point est le milieu d'1 segment
    Par choukette92 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 5
    Dernier message: 01/04/2007, 18h30
  3. Démontrer qu'un nombre est divisible par 43
    Par Bleyblue dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 08/10/2005, 14h55
  4. Démontrer qu'un nombre est divisible par 6
    Par Bleyblue dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 12
    Dernier message: 01/04/2005, 18h10
  5. Démontrer que log5/log2 est irrationnel
    Par Bleyblue dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 30/03/2005, 15h27