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Démontrer qu'un nombre est divisible par 43



  1. #1
    Bleyblue

    Démontrer qu'un nombre est divisible par 43


    ------

    Bonjour,

    Pourriez-vous me dire comment je dois m'y prendre pour démontrer que 6n + 2 + 72n + 1 est divisible par 43 pour n naturel

    J'ai déja essayé tourné cette expression dans tous les sens, sans succes ...

    merci

    -----

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  3. #2
    Romain BERTOUY

    Re : Démontrer qu'un nombre est divisible par 43

    Par récurrence :

    soit Pn : 6^(n+2) + 7^(2n+1) est divisible par 43

    démarrage : P0 c'est 43, conclusion immédiate

    On suppose Pn,

    pour Pn+1, tu peux l'écrire comme

    6*6^(n+2) + 49*7^(2n+1) (t'es d'accord ?)

    de là tu factorise d'abord par 6 ça donne :

    6*[6^(n+2) + 49/6*7^(2n+1)] ça c'est rien, c'est du calcul sans trucage. par contre on peut constater que 49/6 = 1 + 43/6 (toujours d'accord ?) du coup ton expression peut aussi s'écrire :

    6*[6^(n+2) + 7^(2n+1) + 43/6*7^(2n+1)] maintenant on sépare d'un côté Pn, et d'un autre le 'reste' :
    6*[6^(n+2) + 7^(2n+1)] + 43*7(2n+1)
    = 6 Pn + 43*7(2n+1)

    voilà, je te laisse conclure
    Romain

  4. #3
    Moma

    Re : Démontrer qu'un nombre est divisible par 43

    salut,

    tu peux aussi tout simplement regarder les valeurs de 6^(n+2) et 7^(2n+1) modulo 43. Tu vois alors que la période est 3 pour chaque suite, et la somme fait comme par hasard 0 .

    On doit trouer un truc du genre 36,1,6,... pour les puissances de 6, et 7,42,37,... pour les puissances de 7.


    Amicalement
    Moma

  5. #4
    robert et ses amis

    Re : Démontrer qu'un nombre est divisible par 43

    A coup de modulo, ça se résout élégamment :

    à quoi est équivalent modulo 43 ?
    à quoi est équivalent modulo 43?

    faire la somme et conclure...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    indian58

    Re : Démontrer qu'un nombre est divisible par 43

    effectivement modulo est l'un des meilleurs outils en arithmétique!!!

  8. #6
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un nombre est divisible par 43

    Par récurrence :

    soit Pn : 6^(n+2) + 7^(2n+1) est divisible par 43

    démarrage : P0 c'est 43, conclusion immédiate

    On suppose Pn,

    pour Pn+1, tu peux l'écrire comme

    6*6^(n+2) + 49*7^(2n+1) (t'es d'accord ?)

    de là tu factorise d'abord par 6 ça donne :

    6*[6^(n+2) + 49/6*7^(2n+1)] ça c'est rien, c'est du calcul sans trucage. par contre on peut constater que 49/6 = 1 + 43/6 (toujours d'accord ?) du coup ton expression peut aussi s'écrire :

    6*[6^(n+2) + 7^(2n+1) + 43/6*7^(2n+1)] maintenant on sépare d'un côté Pn, et d'un autre le 'reste' :
    6*[6^(n+2) + 7^(2n+1)] + 43*7(2n+1)
    = 6 Pn + 43*7(2n+1)

    voilà, je te laisse conclure
    En effet, j'avais bien pensé à raisonner par récurrence mais j'ai vite laissé tombé ... à tort

    meci à tous !

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