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séries



  1. #1
    GTA87

    séries


    ------

    Bonjour à tous !!!

    voilà mon exercice,

    soit ( an ) une suite numérique telle que lim n.an = 0 quand n tend vers plus l'infini.

    1 ) montrer que la serie [ an ] converge si, et seulement si, la série [ n.( an-an-1 ) ]
    2) établir, dans le cas où les séries [ an ] et [ n.( an-an-1 ) ] convergent, alors
    ∞ ∞
    Σ an = Σ n.( an-an+1 )
    n=1 n=1

    ( n, n+1, n-1 sont en indice pour an ).

    le problème c'est que je ne suis pas à l'aise avec les series et je ne sais pas comment m'y prendre... hier quelqu'un sur ce forum m'avait aidé à demontrer que si dans R les séries [ a²n ] et [ b²n ] convergent, alors la série [ an.bn ] converge. Donc je me disais que peut être j'aurai pu utilser cette relation pour la question 1) mais ça me mène nulle part ...
    donc est-ce que quelqu'un pourrait me donner un conseil, une indication ?

    ( désolé si certains symboles passent pas bien )

    merci

    -----

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  4. #2
    GTA87

    Re : séries

    il n' y a vraiment personne pour m'aider ??? SVP

  5. #3
    breukin

    Re : séries

    n.(an–an–1) = n.an – n.an–1
    Et si on écrit n = n–1 + 1, puis qu'on somme de 1 à N, ça donne quoi ?

  6. #4
    rvz

    Re : séries

    Salut,

    C'est pas un des théorèmes taubériens ?
    Je ne sais jamais ce qu'ils disent précisément, mais je crois bien que c'est en gros ça, non ?

    Rassure toi GTA 87, ça veut pas dire que c'est dur... Ca veut juste dire que c'est classique.
    __
    rvz

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  8. #5
    breukin

    Re : séries

    Je ne sais pas si c'est taubérien ou pas, mais il suffit de suivre la piste que j'ai indiquée, et ça va tout seul.

  9. #6
    rvz

    Re : séries

    Bien sûr, je n'ai jamais voulu dire que ça ne marchait pas. Au contraire, je voulais plutot souligner que ce genre d'astuce est assez classique, et qu'il est bon de la connaître.

    __
    rvz

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  11. #7
    rvz

    Re : séries

    D'ailleurs, tant que j'y suis, d'autres mots clés pour cet exo sont "Intégration par parties discrètes" et Sommation d'Abel (bon d'accord, c'est la même chose !)

    __
    rvz

  12. #8
    GTA87

    Re : séries

    Merci d'avoir repondu.....

    dans l'expression n.(an–an–1) = n.an – n.an–1 ,
    je dois remplacer n par n-1+1 et je developpe. Mais après avec la somme je vois pas ce que cela m'apporte. Je vois pas ce que je dois déduire ...

  13. #9
    rvz

    Re : séries

    Peut-être que cela t'apparaîtra plus clairement si tu regardes un peu la question 2 : Il y a un très fort lien entre la somme partielle des a_n et la somme des n(a_n- a_{n+1})...

    __
    rvz

  14. #10
    Ksilver

    Re : séries

    Salut !


    regarde la somme partielle (de n=1 a N) de n*(an-a(n-1)).


    tu peut la séparer en deux : d'un coté la somme de n*an, de l'autre la somme de n*a(n-1)


    tu peut ensuite décaler la somme de droite pour te retrouver avec la somme des n*an - la somme des (n+1)*an, et la tu les rassemble (en laissant le premier terme de l'une et le dernier terme de l'autre qui ne corespondent plus à cause du décalage), et tu as la somme des (n-(n+1)) an = - somme des an

    (et quelques autre terme qui dépendent de N, a0 et aN...)

    cette manipulation s'apelle une transformation d'Abel, et on la voit souvent comme l'équivalent d'une intégration par partie pour les série...


    arrive tu à faire cette manipulation ?

  15. #11
    rvz

    Re : séries

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    cette manipulation s'apelle une transformation d'Abel, et on la voit souvent comme l'équivalent d'une intégration par partie pour les série...
    Salut,

    En fait, _c'est_ une intégration par partie :

    - Si tu imagines des fonctions a(x) (resp b(x)) en escaliers qui valent a_p (resp b_p) sur les intervalles [p,p+1], et que tu en regardes l'intégration sur [0,n], tu fais une intégration par parties et tu le retranscris en somme, alors pif paf pouf, en fait tu as fait une transformation d'Abel. D'ailleurs, si on veut démontrer l'intégration par parties pour des fonctions Rieman intégrable, c'est exactement comme ça qu'on fait : On repasse sur des fonctions en escaliers, où on fait des sommations d'Abel, puis on fait tout converger et par construction de l'intégrale, blabla.

    - Autre manière de voir, même si c'est assez proche : La sommation d'Abel est la formule d'intégration par parties sur les fonctions MAIS avec la mesure de comptage au lieu de la mesure de Lebesgue.

    Bref, j'avoue, je pinaille un peu, mais j'aime bien souligner le coté transverse de certaines idées.

    __
    rvz

  16. #12
    Ksilver

    Re : séries

    "c'est exactement comme ça qu'on fait" >>> qu'on peut faire ^^, moi je serais quand tenté de me contenter de partir "naivement" de (uv)' =u'v+v'u, vu que de toute facon les fonction doivent etre dérivable non^^

    enfin je suis d'accord avec toi, mais je suis pas sur que ce genre d'idée soit tres claire pour quelqu'un qui ne sais à priorie pas ce qu'est une mesure, et qui découvre tous juste la transofrmation d'abel ^^

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  18. #13
    breukin

    Re : séries

    dans l'expression n.(an–an–1) = n.an – n.an–1 ,
    je dois remplacer n par n–1+1 et je developpe. Mais après avec la somme je vois pas ce que cela m'apporte. Je vois pas ce que je dois déduire ...
    Effectivement, il ne faut remplacer n par n–1+1 que dans le second terme.
    Le but, c'est de faire apparaitre (n–1)an–1, ce qui fait qu'en sommant, les termes vont s'annuler deux à deux.

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