Salut,
On a vu quelques notions de topologie dans le cours sur les fonctions de plusieurs variables, j'ai donc une toute petite question ^^
D'après ce que je comprend il existe une frontière dans un ensemble que si l'espace n'est ni ouvert ni fermé ? Mais justement ça me paraît étrange un espace ni ouvert ni fermé, c'est comme une porte elle est soit ouverte soit fermé ^^ rigoler pas trop hein
Merci d'avance
Euh bah nan !
Le disque unité est fermé (au pire on prend son adhérence) et sa frontière est le cercle unité !
Est-ce que ce ne serait pas plutôt si l'espace n'est pas ouvert et fermé (dans ce cas la frontière est vide) ?Envoyé par H0bb3s
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Salut,
Un espace topologique est défini, par un ensemble de sous ensemble de cet espace qu'on appelle des ouverts (qui doivent avoir un certain nombre de propriétées entre eux), le complémentaire d'un ouvert est un fermé.
Maintenant tu peux avoir dans ton espace topologique des ensembles qui ne sont pas des ouverts, et qui en plus ne sont pas le complementaire d'un ouvert : dans ce cas il ne sont ni ouvert ni fermé.
Par exemple pour la topologie "usuelle" dans IR les ouverts sont de la forme ]a,b[ (enfin de réunion de ]a,b[) et les fermé de la forme [a,b] (ou de réunion fini de [a,b]).
De ce fait pour cette topologie [a,b] U ]c,d[ n'est ni un ouvert ni un fermé
Concernant maintenant un sous ensemble d'un espace topologique, la frontière de ce sous ensemble est la différence entre le plus petit fermé contenant le sous ensemble et le plus grand ouvert contenue dans le sous ensemble.
Et peut importe que le sous ensemble soit ouvert, fermé, ou ni l'un ni l'autre
Ah ok donc comme un ensemble fermé n'a pas d'intérieur tout les points d'adhérence de l'ensemble forment la frontière ? Et donc un ouvert n'a jamais de frontière .
Ais je bien compris ?
Ca existe un ensemble ni ouvert ni fermé ?
edit: j'avais pas vu toutes les autres réponses je li tout ça ^^
Mais si il est les deux la frontière est vide, ce qui peut justifier que l'on dise qu'il n'a pas de frontière (c'est entre autre le cas du vide et de l'espace tout entier).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je m'apperçoit, qu'il y'a peut être une confusion :
On parle de la frontière d'un sous ensemble de l'espace topologique dans lequel on se trouve. L'espace topologique dans son entier est à la fois (par définition) ouvert ET ferméD'après ce que je comprend il existe une frontière dans un ensemble que si l'espace n'est ni ouvert ni fermé ?
Dernière modification par erik ; 08/04/2008 à 20h59.
Oui d'accord, mais je ne suis pas certain que c'était la question de HObb3sMais si il est les deux la frontière est vide, ce qui peut justifier que l'on dise qu'il n'a pas de frontière (c'est entre autre le cas du vide et de l'espace tout entier).
Euh non, rienAh ok donc comme un ensemble fermé n'a pas d'intérieur tout les points d'adhérence de l'ensemble forment la frontière ? Et donc un ouvert n'a jamais de frontière .
Ais je bien compris ?.
Pour reprendre l'exemple d'erik, l'intérieur de [a; b] est ]a; b[ (avec a<b)
la frontière de ]a; b[ est {a, b}.
Oui, ne serait-ce que le vide et l'espace tout entier.
Je suis Charlie.
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Non l'espace tout entier et le vide sont ouvert ET ferméCitation:
Posté par H0bb3s Voir le message
Ca existe un ensemble ni ouvert ni fermé ?
Oui, ne serait-ce que le vide et l'espace tout entier.
Un exemple d'ensemble ni ouvert ni fermé c'est [a,b] U ]c,d[ pour la topologie usuelle de IR
Le vide et l'espace tout entier sont tout à la fois OUVERTS ET FERMES.
Ha oui donc en fait j'ai dit une bêtise un fermé peut avoir un intérieur.
C'était pas ma pensée initiale mais oui en fait c'est çaEst-ce que ce ne serait pas plutôt si l'espace n'est pas ouvert et fermé (dans ce cas la frontière est vide) ?
merci pour ton explication erik
Merci à tous
Fait bien attention à différencier l'espace lui même (qui est toujours, ouvert et fermé), et un sous ensemble de cet espace (qui peut être n'importe quoi).....
Vous répondez trop vite ^^ j'ai pas le temps de rèflechir et de taper
J'avais pas encore lu les messages de #7 à 10
D'accord, donc en fait l'espace n'a pas de frontière mais ses sous ensembles peuvent en avoir.Fait bien attention à différencier l'espace lui même (qui est toujours, ouvert et fermé), et un sous ensemble de cet espace (qui peut être n'importe quoi).....
Je crois que je comprend mieux, encore une fois merci !
Si, l'espace a une frontière, comme tout sous-ensemble ; cette frontière est vide, mais elle existe quand même !
oui bien sûr c'était un abus de vocabulaire de ma part il faut me pardonner je suis en physiqueSi, l'espace a une frontière, comme tout sous-ensemble ; cette frontière est vide, mais elle existe quand même !
Oui, bien sur, j'ai lu trop vite et cru que H0bb3s avait repris mon post précédent qui parlait des ensembles OUVERTS ET FERMES (pourquoi cries-tu ?)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je ne crie pas, j'essaie d'attirer l'attention de H0bb3s qui semble un peu perdu, et qui aurait pu finir par ne plus rien comprendre.
