Interversion limite/intégrale
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 9 sur 9

Interversion limite/intégrale



  1. #1
    Gpadide

    Interversion limite/intégrale


    ------

    Bonjour, je voudrais savoir si, lorsqu'une suite de fonctions intégrables fn converge uniformément vers f, on peut écrire :

    ?

    Je sais que c'est vrai sur un segment mais cela m'arrangerait que ca soit aussi vrai sur R+...Par exemple lorsque l'on a une série alternée et qu'on ne peut pas appliquer facilement convergence dominée ou intégration termes a termes.
    Merci.

    -----

  2. #2
    invite4ef352d8

    Re : Interversion limite/intégrale

    Bonjour !

    non c'est faux.

    converge uniforement signifie que la différence est majorer par une suite de réel qui tend vers 0. le probleme, c'est qu'un réel c'est pas intégrable sur R donc on peut rien en faire !


    genre, imagine la fonction fn qui vaut 1/n sur 0...(n-1) et 0 sur le reste de R

    fn converge uniformement vers 0, mais l'intégral de fn vaut 1 quelque soit n

  3. #3
    invite9cf21bce

    Re : Interversion limite/intégrale

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Bonjour, je voudrais savoir si, lorsqu'une suite de fonctions intégrables fn converge uniformément vers f, on peut écrire :

    ?
    Salut !
    C'est faux tel quel, même avec des fonctions positives...
    Prends pour fn une fonction qui vaut 0 partout, sauf sur [0;n] où elle vaut 1/n (si tu veux que ça soit continu tu remplaces la marche d'escalier par un triangle isocèle).
    Chaque fn est intégrable, d'intégrale 1 (1/2 dans le cas du triangle isocèle).
    (fn) converge vers 0 uniformément sur R+.

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Je sais que c'est vrai sur un segment mais cela m'arrangerait que ca soit aussi vrai sur R+...Par exemple lorsque l'on a une série alternée et qu'on ne peut pas appliquer facilement convergence dominée ou intégration termes a termes.
    Merci.
    Donne voir un exemple ! Lorsque ta série est alternée il n'y a en général pas trop de problèmes de domination en étudiant séparément les sommes partielles d'indices pairs et les sommes partielles d'indices impairs.

    Taar.

    EDIT : damned grillé par Ksilver à 30 secondes près

  4. #4
    Gpadide

    Re : Interversion limite/intégrale

    Bon ok je vous montre mon exemple parce que je m'en sors vraiment pas :



    Ici, a_n est une suite strictement positive, croissante, et non majorée. Il parait qu'il est possible d'intervertir somme et intégrale mais je n'y arrive ni avec intégration termes a termes (a cause de la valeur absolue) ni a cause de la convergence dominée (je ne trouve pas de fonction dominante.

    Je pensais utiliser la majoration du reste pour cette série alternée mais vous m'en empéchez ! (:

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite4ef352d8

    Re : Interversion limite/intégrale

    Salut !


    il faut effectivement utilisez la majoration de reste... mais si tu regarde bien, cette majoration dépend de t ... et surtous elle est intégrable ^^

  7. #6
    Gpadide

    Re : Interversion limite/intégrale

    Euhh oui ca j'avais vu mais en quoi ca doit m'aider ? Le probleme c que je majore le reste, et pour la convergence dominée, il faut tout majorer !

  8. #7
    invite4ef352d8

    Re : Interversion limite/intégrale

    je te te parle de calcule directe moi !

    tu va majorer léecart entre la serie et la somme partielle par un terme en exp(-t*an) dont l'intégral sur [0,+inf[ vaut 1/an... donc l'intégral de l'ecart entre les deux tend vers 0.


    tu peut remarquer que de la meme facon on a le theoreme suivant ;

    si somme des fn est une serie alterné, alors sous réserve d'existence des deux termes on a :
    somme des intégral de fn = intégral de somme des fn.

    avec l'intégral prise sur un intervalle quelconque (borné ou non)

    (cependant il est possible qu'un des membres existe et que l'autre non)

  9. #8
    Gpadide

    Re : Interversion limite/intégrale

    Apres avoir essayé le raisonnement par écrit je ne comprends pas: peux tu le rédiger stp ?
    Car moi j'integre une différence : ok ca tend vers zero mais a un moment ya qd mm bel et bien une interversion somme/intégrale a faire, que je n'arrive pas a justifier par ton argument...

  10. #9
    invite4ef352d8

    Re : Interversion limite/intégrale

    Ok.

    on note Sn(t) la somme partielle, Rn(t) le reste, et f(t) la fonction.

    f(t)=Sn(t)+Rn(t)

    et |Rn(t)| < exp(-an*t)




    Sn(t) est intégrable, d'intégral somme des (-1)^k/ak

    et Rn(t) est intégrable car majorer par une fonction intégrable, d'intégral 1/an

    fonc f(t) est inétegral et son intégral vaut somme des (-1)^k/a*k de k=1 a (n)+e

    avec |e|<1/an

    et apres tu fais tendre n vers l'infinit, la serie des (-1)^/an converge (serie alterné) et 1/an ->0, donc e->0 d'ou

    intégral de f(t) = somme des (-1)^n/an

Discussions similaires

  1. Rendement de Carnot, limite physique ou limite technologique ?
    Par chaverondier dans le forum Physique
    Réponses: 4
    Dernier message: 07/11/2010, 10h46
  2. limite d'une intégrale
    Par milsabor dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 06/11/2007, 12h02
  3. limite d'une intégrale
    Par milsabor dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 30/01/2007, 20h10
  4. intégrale mathématique vs intégrale physique
    Par invitec3f4db3a dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 12
    Dernier message: 17/04/2006, 20h35
  5. Interversion symbole Somme - Intégrale
    Par invite3799b2e8 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 15/08/2004, 18h45