automorphismes orthogonaux de l'espace

[invite56f88dc9]

Bonjour j'ai du mal à comprendre dans le cas d'une matrice de rotation, comment trouver l'angle de rotation, plus précisément le sinus.
Pour l'axe,on cherche Ker(M-I3), en gros les vecteurs invariants M: matrice (dans l'espace).
Pour le cosinus, on utilise la trace de la matrice.
Pour le sinus, on prend, un vecteur unitaire a sur l'axe, un vecteur v orthogonal à l'axe , par formule on a :
f(v)=cos(theta)v+ sin(theta)(a vectorielle v).
Le problème, ça peut vous paraître vraiment bête mais je ne comprends pas comment on calcule f(v).Pouvez vous m'expliquer en détail.

Par exemple pour la matrice 3*3 :
0 1 0
0 0 1
1 0 0

On a l'axe a (1/sqrt(3))(i+j+k)
v (2 -1 -1) est orthogonal à l'axe.
On a : f(v) = cos(theta)v+sin(theta)(a vectoriel v) d'ou :
-1 = 2cos(theta)
-1=-cos(theta)+ sin (theta)sqrt(3)
2=-cos(theta)-sin(theta)sqrt(3)

Je ne vois pas comment on a calculé f(v), pouvez vous me l'expliquer en détail

N.B : sqrt : racine carré je n'ai pas mis le symbole vecteur sur v et a.
-----

[invite9cf21bce]

On a : f(v) = cos(theta)v+sin(theta)(a vectoriel v) d'ou :
-1 = 2cos(theta)
-1=-cos(theta)+ sin (theta)sqrt(3)
2=-cos(theta)-sin(theta)sqrt(3)

Je ne vois pas comment on a calculé f(v), pouvez vous me l'expliquer en détail

Ben en fait ton système est la mise en équations de l'égalité
f(v) = cos(theta)v+sin(theta)(a vectoriel v)

avec :
v (2 -1 -1)
a (1/sqrt 3)(1 1 1)
a vectoriel v (1/sqrt 3)(0 3 -3)
f(v)

Hope it helps...
Taar.

[invite56f88dc9]

merci je vois beacoup mieux.

[invitec053041c]

Autre manière: tu sais que ta matrice inverse correspond à t(A), et c'est la rotation d'angle -theta.
On remarque donc assez vite que la matrice diagonale antisymétrique (tiens tiens ) (A-t(A))/2 est associée au produit vectoriel avec n.sin(theta).
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]