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automorphismes orthogonaux de l'espace



  1. #1
    sensor

    automorphismes orthogonaux de l'espace


    ------

    Bonjour j'ai du mal à comprendre dans le cas d'une matrice de rotation, comment trouver l'angle de rotation, plus précisément le sinus.
    Pour l'axe,on cherche Ker(M-I3), en gros les vecteurs invariants M: matrice (dans l'espace).
    Pour le cosinus, on utilise la trace de la matrice.
    Pour le sinus, on prend, un vecteur unitaire a sur l'axe, un vecteur v orthogonal à l'axe , par formule on a :
    f(v)=cos(theta)v+ sin(theta)(a vectorielle v).
    Le problème, ça peut vous paraître vraiment bête mais je ne comprends pas comment on calcule f(v).Pouvez vous m'expliquer en détail.

    Par exemple pour la matrice 3*3 :
    0 1 0
    0 0 1
    1 0 0

    On a l'axe a (1/sqrt(3))(i+j+k)
    v (2 -1 -1) est orthogonal à l'axe.
    On a : f(v) = cos(theta)v+sin(theta)(a vectoriel v) d'ou :
    -1 = 2cos(theta)
    -1=-cos(theta)+ sin (theta)sqrt(3)
    2=-cos(theta)-sin(theta)sqrt(3)

    Je ne vois pas comment on a calculé f(v), pouvez vous me l'expliquer en détail

    N.B : sqrt : racine carré je n'ai pas mis le symbole vecteur sur v et a.

    -----

  2. #2
    Taar

    Re : automorphismes orthogonaux de l'espace

    Citation Envoyé par sensor Voir le message
    On a : f(v) = cos(theta)v+sin(theta)(a vectoriel v) d'ou :
    -1 = 2cos(theta)
    -1=-cos(theta)+ sin (theta)sqrt(3)
    2=-cos(theta)-sin(theta)sqrt(3)

    Je ne vois pas comment on a calculé f(v), pouvez vous me l'expliquer en détail
    Ben en fait ton système est la mise en équations de l'égalité
    f(v) = cos(theta)v+sin(theta)(a vectoriel v)

    avec :
    v (2 -1 -1)
    a (1/sqrt 3)(1 1 1)
    a vectoriel v (1/sqrt 3)(0 3 -3)
    f(v)

    Hope it helps...
    Taar.

  3. #3
    sensor

    Re : automorphismes orthogonaux de l'espace

    merci je vois beacoup mieux.

  4. #4
    Ledescat

    Re : automorphismes orthogonaux de l'espace

    Autre manière: tu sais que ta matrice inverse correspond à t(A), et c'est la rotation d'angle -theta.
    On remarque donc assez vite que la matrice diagonale antisymétrique (tiens tiens ) (A-t(A))/2 est associée au produit vectoriel avec n.sin(theta).
    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

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