Soit p et q deux projections de E dans E. On a donc Kerp(+)Imp=E=Kerq(+)Imq.
Dans l'optique de prouver que
Dim(E)=Dim(Imp et Imq) + Dim(Kerp ou Kerq)
j'airais besoin dire que Kerp ou Kerq = Kerp + Kerq
c'est evidemment faux dans le cas général mais là, si on fait un dessin avec les ensembles, on dirais quand meme que c est juste... le dessin est il trompeur?
Bonjour,
Un dessin serait le bienvenu (d'autant que je pense que ce que tu dis est vrai).
Qu'est-ce que tu entends par dim (ker p ou ker q)?
Comme en termes d'espaces vectoriels "ou" doit être compris comme "somme" (pas forcément directe), ça me semble tenir la route.
Je vérifie, et à ++.
-- françois
Rebonjour,
Me revoilà...
Pour deux projecteurs supplémentaires p et q, on a :
1 = p + q
pq = qp = 0
d'où
img p = ker q
img q = ker p
Avec ça, ça devrait aller, même si tes projecteurs de départ ne sont pas supplémentaires, tu peux essayer ½(1+pq) et ½(1-pq), je n'ai pas vraiment vérifié en détail, mais je suis sûr que c'est la bonne voie.
-- françois
Salut aussi,Envoyé par pavlinka
Si je pose A = Ker p, B = Ker q, tu est en train d'écrire que (A union B) = E est un espace vectoriel. Hors, si je ne m'abuse, cela implique que A est inclus dans B ou l'inverse.
Preuve :
Soit a dans A-B, b dans B-A. Alors a et b sont dans E, donc, a+b aussi. Donc a+b est dans A ou dans B.
Si a+b est dans A, comme a est aussi dans A, alors b est dans A.
Idem si a+b est dans B
En tout cas, ça ne marche pas.
En particulier, pour toi, si c'était vrai, ça impliquerait que Ker(q) et Ker(p) ont un fort lien de parenté... Ce qui n'apparaît nul part dans tes hyp.
Ou alors tu veux juste dire que Vect(A union B) = A+B ?
__
rvz
PS : Pavlinka, ça a un rapport avec la palinka ? Cet excellent alcool que l'on trouve sur les rives de Buda et Pest ?
Bonjour,
(rvz <<)
Je crois que ce que pavlinka voulait dire, c'est
ker p + ker q, et pas ker p U ker q,
sinon ça n'a aucun sens.
Mézalors, c'est exactement ce qui est dit dans l'énoncé, pavlinka a besoin de prouver que
ker p + ker q = vect(ker p U ker q)
et ça revient à partir du résultat pour démontrer le bien-fondé de l'énoncé.
-- françois
Tout à fait. Je pinaillais juste un peu.
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rvz
Re : projections, réunion et somme de ker p et im p
C'est vrai que j'ai pas donné beaucoup d'éléments.
p et q sont deux projections orthogonales on a montré que poq était aussi une proj. orthogonale et qu'on avais poq=qop.
On a aussi m.q. Im(poq)=Im(p)interIm(q).
on veut m.q. Ker(poq)=Ker(p)+ker(q).
il est aisé de dire que Ker(p)+Ker(q) est inclu dans Ker(poq).
Le prof s'embrouille pour faire l'autre inclusion, donc je voulais invoquer l'égalité des dimensions.
dim(Ker(p)+Ker(q))=dim E - dim ( Im(p) inter Im(q)) ?
**************=dim E - dim(Im(poq))
**************= dim E - [ dim E - dim Ker(poq) ]
qu'en pensez vous? c'est la premiere ligne que je montre avec un dessin.
Ce qui précède est juste.
Pour un projecteur on a :
à partir de x=[p(x)-x]
Pour deux projecteurs qui commutent :
Preuve :
x=[x-p(x)-q(x)+poq(x)]+[q(x)-poq(x)]+[p(x)-poq(x)]+[poq(x)]
On vérifie facilement que chacun est dans le bon sev, l'exclusion résulte du 1er résultat pour p et pour q.
Il n'y a plus qu'à montrer quece qui est assez facile.
On retrouve ses "petits" et tout est montré (y compris en dimension infinie)
pavlinka c'est comme ca qu'on m'appelais quand j'étais petite, palinka ca vient surement de "pàlit" qui veut dire bruler, distiller
