[TS] Tir balistique à longue portée

[Don Corleone]

Bonsoir à tous,

Je suis en Terminale S et j'ai besoin d'aide sur un exercice de physique à faire en DM pour la rentrée prochaine. Il s'agit en fait de la troisième partie d'un DS sur la balistique que j'ai eu avant les vacances.

Je recopie l'énoncé : (en faisant ce que je peux avec La Tex ^^)

"Nous étudions dans cette partie le cas d'un tir balistique de longue portée. La Terre est supposée sphérique, homogène et isotrope. Le projectile est lancé avec la vitesse initiale dans une direction faisant un angle avec la verticale du pas de tir.

On suppose que les conditions du tir balistique sont telles que le projectile retombe sur Terre.
On suppose de plus que le projectile est lancé vers le haut ( ≠ pi/2)

1) Montrer que l'angle de la tangente à la trajectoire et de la verticale au point d'impact est égal à pi-.

2) Montrer que cette trajectoire est une portion d'ellipse de demi-grand axe a tel que

où g_0 est la l'accélération de la pesanteur au niveau terrestre.

3) Quelle valeur maximale peut-on donner à V_0?

4) On pose

- Montrer que pour obtenir la portée maximale, V_0 étant fixé, il convient de choisir de manière à assurer l'égalité suivante : l=2a-R

-Montrer que dans ce cas la portée maximale du tir est , étant défini par la relation:

5) Quelle valeur faut-il donner à V_0 pour que la portée maximale soit de 3600 miles nautiques
Quelle est alors la valeur de ?

6) Pourquoi les résultats de la question 5° montrent-ils qu'il est impossible d'ignorer la rotation de la Terre?"


J'ai résolu les 3) premières questions mais après je bloque complètement... Par exemple, je n'arrive pas à voir ce que représente l et je n'ai aucune idée de comment aborder la question 4.

J'ai essayé pas mal de choses comme retrouver toute l'équation de l'ellipse mais ça n'a pas très bien marché. Sinon en
cherchant quelques éléments sur google j'ai trouvé ce DM (http://membres.multimania.fr/mpsi2be...ue/DMs/DM5.pdf), très proche du mien. Mais je n'ai pas su comment en tirer parti..

Merci d'avance de votre aide!

W.
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[calculair]

bonjour,

j'ai l'impression que c'est compliqué....

J'ecrirai d'abord que l'energie totale du projectile est constante E = Ec + E potentielle

J'aurais la tentatation de prendre des coodonnées spheriques.

Le vecteur vitesse du projectile peut se decomposer en vitesse tagentielle ( = r da/dt ( a = angle du rayon vecteur avec un rayon de reference ) et vecteur vitesse porté par R ( = dR/dt )

J'ai l'impression queje t'embarque dans un truc compliqué.... mais nous pourrions continuer, si personne ne voit un chemin plus simple ....

[Don Corleone]

J'ecrirai d'abord que l'energie totale du projectile est constante E = Ec + E potentielle

Oui c'est ce que j'ai utilisé pour la 2ème question, ça et la relation E= - G.M.m/2a (où a est le demi-grand axe de l'ellipse).

Par contre j'aimerais bien pouvoir résoudre ce problème sans coordonnées sphériques : nous ne les avons pas vu en cours! Je suis sensé utiliser seulement des coordonnées cartésiennes ou polaires. Et ce sont les polaires qui semblent les plus appropriées ici..

Mais même si je retrouve toute l'équation de l'ellipse en polaire (ce que je ne sais pas faire d'ailleurs ) comment obtenir une expression de la portée?

[calculair]

Bonjour
Si tu as l'equation de la trajectoire, il suffit de trouver les intersection avec la surface terrestre pour trouver la portée

L'energie E du projectile s'ecrit

E = 1/2 m ( (dR/dt)² + R² ( da/dt) ² ) + Ep

La loi des aires impose R² da/dt = Cte

dt = R²/cte da

Tu reportes cette valeur dans l'equation donnant E, comme ça ona plus le temps dans les formules....

[A voir en vidéo sur Futura]

[Don Corleone]

Bonjour
Si tu as l'equation de la trajectoire, il suffit de trouver les intersection avec la surface terrestre pour trouver la portée

L'energie E du projectile s'ecrit

E = 1/2 m ( (dR/dt)² + R² ( da/dt) ² ) + Ep

La loi des aires impose R² da/dt = Cte

dt = R²/cte da

Tu reportes cette valeur dans l'equation donnant E, comme ça ona plus le temps dans les formules....

Mais je n'ai pas l'équation de la trajectoire, et je vois pas comment la déterminer.

Dans mon cours, l'équation d'une ellipse est donnée par

ou encore

où "A est une constante qui s'exprime à l'aide de l'énergie mécanique".

Comment trouver A?

D'où vient l'expression de E de votre dernier post? Et qu'est-ce qu'y représente "a"? (le demi-grand axe ou un élément des coordonnées sphériques?)

Et je ne comprends pas très bien cette phrase "Tu reportes cette valeur dans l'equation donnant E, comme ça ona plus le temps dans les formules...."

Merci pour votre aide je suis un peu perdu!

[Don Corleone]

Je précise que sigma_0 est le moment cinétique (constant) du projectile qui peut s'exprimer par

[calculair]

Re bonjour,

L'energie cinetique Ec = 1/2 mV²

Le vecteur vitesse peut se decomposer en 2 composantes perpendiculaires. L'uneestla vitesse tangencielle R da/dt et l'autre est la vitesse d'eloignement du centre de la tratrajectire ou selon le rayon R pependiculaire à la tangente dR/dt

Le carré de la vitesse V² est la somme des carrés des 2 composantes.

Pour avoir l'energie totale tu ajoutes l'energie potentielle

La conservation du moment cinetique peut s'exprimer ici par lefait que la surface balayée par le rayon vecteur par unite de temps est constante.
C'est la loi des aires.

Quand je dit tu reportes cette valeur dans l'expression de E, je veux dire tu remplaces l'element dt par R²/K da ( j'ai appele la constante Cte par K)

tu as alors

E = 1/2 m [ K/ (R² *R²) (da/dt)² + K² /R² ] + Ep

Si tu veux la suite, il faudra que je l'écrive sur papier avant de le poster sur le forum

[vaincent]

Bonjour,

Mais je n'ai pas l'équation de la trajectoire, et je vois pas comment la déterminer.

Dans mon cours, l'équation d'une ellipse est donnée par

ou encore

où "A est une constante qui s'exprime à l'aide de l'énergie mécanique".

Comment trouver A?

tu as dû mal recopier l'équation de l'ellipse en coordonnées polaires, le numérateur est égal à e/A et non e. Ce type d'exo se situe à mi-chemin entre la TS et la prépa, et on ne peut donc pas tout vous expliquer! Certaines choses sont "cachées", sinon on dépasserait le cadre de vos connaissances. Pour trouver A il faut étudier le problème dans un contexte plus général appelé "mouvement dans un champs de force central".

Et qu'est-ce qu'y représente "a"? (le demi-grand axe ou un élément des coordonnées sphériques?)

c'est le demi-grand axe d'une ellipse. L'équation d'un cercle de rayon R centré en l'origine est , alors que celle d'une ellipse de demi-grand axe a et de demi -petit axe b est . L'ellipse est donc une généralisation d'un cercle où le rayon suivant x est différent de celui suivant y.
Quant au reste je ne peux pas t'aider aujourd'hui, je n'ai vraiment plus le temps là!

Bon réveillon!

[calculair]

Bonjour


Il semble que l'expression r = p /( 1+ e cos a) soit bien l'equation d'une conique en cordonnées polaires ( a verifier ) e compris entre 0 et 1 pour l'ellipse

[calculair]

bonjour

pour le terme "a" voir le message N°2

[LPFR]

Mais je n'ai pas l'équation de la trajectoire, et je vois pas comment la déterminer.

Dans mon cours, l'équation d'une ellipse est donnée par

ou encore

où "A est une constante qui s'exprime à l'aide de l'énergie mécanique".

Comment trouver A?

...

Bonjour.
Vous pouvez trouver la déduction de cette formule dans le chapitre 11 de ce fascicule (7 Mo):
http://www.sendspace.com/file/ttrwye.
Pages 11-10 et 11-11
Ainsi que la relation entre l'excentricité et l'énergie totale de l'objet (donc entre A et l'énergie) page 11-12.
Au revoir.

[Don Corleone]

Re bonjour,

L'energie cinetique Ec = 1/2 mV²

Le vecteur vitesse peut se decomposer en 2 composantes perpendiculaires. L'uneestla vitesse tangencielle R da/dt et l'autre est la vitesse d'eloignement du centre de la tratrajectire ou selon le rayon R pependiculaire à la tangente dR/dt

Le carré de la vitesse V² est la somme des carrés des 2 composantes.

Pour avoir l'energie totale tu ajoutes l'energie potentielle

La conservation du moment cinetique peut s'exprimer ici par lefait que la surface balayée par le rayon vecteur par unite de temps est constante.
C'est la loi des aires.

Quand je dit tu reportes cette valeur dans l'expression de E, je veux dire tu remplaces l'element dt par R²/K da ( j'ai appele la constante Cte par K)

tu as alors

E = 1/2 m [ K/ (R² *R²) (da/dt)² + K² /R² ] + Ep

Si tu veux la suite, il faudra que je l'écrive sur papier avant de le poster sur le forum

Re-bonjour et merci infiniment de votre aide,

D'accord j'ai compris vos posts, mais je ne vois pas où cela nous mène, sûrement parce que je connais mal encore les coordonnées sphériques..

La suite sur papier me serait d'une grande aide je crois, mais je ne veux pas abuser de votre temps, surtout avant le soir du réveillon ... Donc cela peut attendre encore un peu.

Mais quelle est l'idée pour la suite du calcul? Comment à partir de ces considérations énergétiques retomber sur l'expression de la portée??

Et oui il y a bien une erreur dans la première expression de la trajectoire d'une ellipse. On a bien e/A au numérateur.

Autrement, voilà un lien pour taper du LaTex très facilement (cela peut toujours servir ) : LaTeX

Merci encore et bon réveillon!

[calculair]

Bonjour,

Je vais essayer de faire quelque chose encore en 2011...... et si non cela sera en 2012 .....


Je suis etonné que l'onvous donne ce type de problème, mais peut être je m'y prend mal, il y a sans doute plus simple....

Bon Reveillon, si je ne post rien en 2011....

[Don Corleone]

Bonjour.
Vous pouvez trouver la déduction de cette formule dans le chapitre 11 de ce fascicule (7 Mo):
http://www.sendspace.com/file/ttrwye.
Pages 11-10 et 11-11
Ainsi que la relation entre l'excentricité et l'énergie totale de l'objet (donc entre A et l'énergie) page 11-12.
Au revoir.

Bonjour, et merci à vous pour ce précieux document,

Ça y est je crois que ça commence à s'éclaircir! Je vais faire quelques recherches et je re-posterai si je bloque, ou juste pour vous prévenir si je réussis!

Merci infiniment!!

DC

[calculair]

Bonjour

en complement du cours très complet de LPFR je vous propose cette vision des chosesaires.jpgN°2.jpg

La suite arrive

[calculair]

Bonjour,

Suite du calcul...N°3.jpgN°5.jpg

[calculair]

bonjour


J'ai sauté cette page. elle sont numerotés en haut (suite 1,2,3 ....)







On arrive à la fin bientot ......


Je n'ai pas donné beaucoup d'explication, il ne faut pas hesiter de me questionner bien sur.

[Don Corleone]

Désolé mais je n'arrive pas à ouvrir les pièces jointes, je suis redirigé vers ce lien "Pièce jointe spécifié(e) non valide. Si vous suivez un lien valide, veuillez notifier l'administrateur".

Il n'y a que moi qui ait ce problème? Pourriez vous m'envoyer les images par MP (ou par mail éventuellement)?

EDIT : Ah! je crois que c'est parce qu'elles sont en attente de validation. Au temps pour moi.

[calculair]

bonjour Suite et fin pour les calciuls


N°7.jpgN°8.jpg


Si tu as des difficultés tu m'envoies un message privé pour que je transmette par mail

Bonne soirée peut être un peu studieuse.... mais pas seulement peu être.

Bonnes fêtes

[calculair]

Re bonjour,

J'ai parcouru le document de LPFR, qui est trés clair ( on voit que c'est un Pro ).

Le prof qui vous a donné ce devoir vous pousse dans vos derniers retranchement. Je ne sais qu'en pense LPFR ? A moins qu'il y a une façon d'y arriver plus simple et astucieuse.

Le calcul qui fait est trés general.

Il faudrait le refaire plus proprement,mais j'espère avoir donné des points de repères qui permettent de retrouver les resuktats/
.

[Don Corleone]

Bonsoir,

Ce qu'il y a de très bien avec le document de LPFR c'est que l'expression de l'excentricité qui est donnée à la page indiquée m'a permis de trouver l'équation de l'ellipse. Et j'ai vérifié, en calculant la demi-somme du périhélie et de l'aphélie, je retombe bien sur l'expression du demi-grand axe de la question 2.

Après je ne suis pas encore sûr de comment continuer : je pense que la situation est la suivante : On a deux courbes (E) et (C) ; (E) est l'ellipse qui nous occupe et (C) le cercle qui représente la Terre.

(C) et (E) ont pour équations respectives en coordonnées polaires et

On cherche le point d'impact du projectile sur Terre, donc le 2nd point d'intersection de (C) et (E) (le premier étant le point O d'où est lancé le projectile).
On cherche donc un point M de coordonnées (R, théta) tel que :

Je connais alors l'expression de e en fonction de variables connues (, G, M, R...).

Mais l'équation est plutôt complexe et de plus le lien avec alpha n'est pas explicite.

En isolant cos(théta) on a l'équation : qui est très très moche..

L'idée que j'ai à ce point du problème est de remplacer en (raisons de symétrie évidentes). On peut alors transformer le en et sortir du sin(alpha) à droite grâce à l'expression de sigma_0..

Je ne l'ai pas encore fait donc je ne sais pas où ça mène...

Qu'en pensez-vous? Je brûle?

edit : ne pas faire attention aux "eta" dans certaines formules (fautes de frappe)

[calculair]

Bonjour et bonne annee 2012

En reprenant l'equation de mon dernier message

1/G =[e cos ( a- b) + 1 ]/ p (a poiur tetha et b pour alpha )

on avait ecrit K = R² da/dt, p = K²/R et e = AK²/G

G = constante de gravité

Pour le tir initial R V° sin( c) = R² da/dt = K

On ecrit que la trajetoire passe par le point de tir

Rt = rayon terrestre

1/Rt = A + G / ( Rt Sin( c) V° )

A = 1/Rt - G / ( Rt Sin ( c) V°)

De toute façon on arrive pas à une expression avec un beau look ........