Pourquoi le S de SU(2) ou 3 ou 5?

[invite69d38f86]

Bonjour,

Je sais que çà correspond à un déterminant égal à 1.
Je comprends pourquoi le caractère unitaire (le U) est utile en théorie des particules le groupe pour des histoires de conservations.
Mais pourquoi ce déterminant?
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[invite7ce6aa19]

Bonjour,

Je sais que çà correspond à un déterminant égal à 1.
Je comprends pourquoi le caractère unitaire (le U) est utile en théorie des particules le groupe pour des histoires de conservations.
Mais pourquoi ce déterminant?

Bonjour,

Il me semble difficile de donner une réponse générale à ta question. En effet une action de groupe G agit sur un objet (une expression algébrique, une géométrie etc..) qui laisse invariant cet objet. Donc le groupe ressort de cette propriété et donc ce peut-être SU(2) comme n'importe quel groupe. C'est donc une affaire de cas.

Prenons l'exemple classique qui consiste à trouver une représentation de dimension 2 du groupe de rotation SO(3) à partir de la représentation "native" de dimension 3. Si on essaie U(2) la matrice comporte 4 paramètre indépendants. C'est 1 de Trop. En ajoutant la contrainte det [U(2)] = 1 on a 3 paramètres indépendants et donc on a le groupe SU(2)

Prenons l'exemple historique du champ de neutrons et du champ de protons. En calculant les excitations élementaires en représentation d'occupation on trouve une algébre de Lie de rang 1. Comme la seule algébre de Lie de rang 1 est su(2) on obtient encore une fois le groupe SU(2).

Si l'on veut tenter une explication générale, on notera que les groupes SU(N) sont les groupes de recouvrement des groupes SO(N) et que les groupes SO(N) sont représentés dans les espaces de spineurs que l'on peut comprendre comme une généralisation des tenseurs qui eux sous-tendent des sous-groupes de GL(N,R)

[invite69d38f86]

Si l'on passe des générateurs au groupe par exponentiation, pour les matrices diagonales on a un lien entre déterminant 1 dans le groupe
et trace nulle dans l'algèbre correspondante. ceci joue t il un role dans l'importance de ce "spécial"?

[invite7ce6aa19]

Si l'on passe des générateurs au groupe par exponentiation, pour les matrices diagonales on a un lien entre déterminant 1 dans le groupe
et trace nulle dans l'algèbre correspondante. ceci joue t il un role dans l'importance de ce "spécial"?

une réponse possible à ta question est de montrer le rapport entre U(N) et SU(N)

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Si tu a un groupe de matrices U(N) dans une représentation diagonale celle-ci s'écrit:

U =exp(i.H) avec H hermitique

alors det U = exp (i.trace H)

Comme Trace de H est réel on a trace H = A

alors Det U= exp.i.A

Donc jusque là il s'agit du groupe U(N)

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Maintenant si Det = 1 alors Trace H = 0

ce qui définit le sous-groupe SU(N) de U(N)

Ce qui nous permet d'écrire que U(N) est isomorphe à:

U(1)*SU(N)

Dans le modèle standard U(1) est le groupe de jauge de l'électromagnétisme qui laisse la charge invariante.

[A voir en vidéo sur Futura]