Bonsoir,
Voici mon problème :
Je souhaite savoir comment calculer, la vitesse de rotation maximale qui peut être atteinte par un disque plein, avant qu'il ne se détruise sous l'effet de la force centrifuge.
par exemple un disque de 1m de diamètre, épaisseur 10cm, en acier.
D'avance merci pour votre aide,
Cordialement
Julien
Bonjour, Esdobrad,
Bienvenu sur le forum de Futura-Sciences.
Ce n'est pas aussi simple que ça, mais on peut faire une approche.
Votre disque a t-il un trou dans son centre ?
Cordialement.
Jaunin__
Sauf erreur de ma part, en considérant un petit secteur angulaire d'angle d_thêta compris entre les rayons r et r+dr, puis en écrivant (en coordonnées cylindriques r et thêta) :Envoyé par esdobrad
1/ la relation entre champ de déplacements purement radial u =u(r) et champ de déformations:
- epsilon_r = du/dr
- epsilon_thêta = u/r
2/ l'équation d'équilibre radial du petit secteur angulaire :
sigma_r dr d_thêta + r d_thêta d_sigma_r - sigma_thêta d_thêta = - Rhô omêga^2 r (r dr d_thêta) avec
- Rhô = masse volumique de l'acier = 7850 kg/m^3
- oméga = vitesse angulaire de rotation du disque
3/ la relation contraintes déformations dans le modèle des contraintes planes :
- sigma_r = E (epsilon_r + nu epsilon_thêta)/(1-nu^2)
- sigma_thêta = E (epsilon_thêta + nu epsilon_r)/(1-nu^2) avec
- E = module de Young de l'acier
- nu = coefficient de Poisson
L'équation différentielle relative au champ u de déplacement radial obtenue possède une solution particulière évidente mais ne respectant pas la condition limite sigma_r = 0 (cette condition sera obtenue (cf. ci-dessous) en additionnant un champ de contraintes de traction uniforme annulant la contrainte radiale sur le bord du disque de rayon R). Cette solution particulière est la suivante (sauf erreur de ma part, je n'ai pas vérifié finement les calculs car le résultat final m'a paru très raisonnable) :
u(r) = - k r^a avec k = Rhô oméga^2 (1-nu^2)/(3E) et a = 3, soit
u(r) = - Rhô oméga^2 r^3 (1-nu^2)/(3E)
Le champ de déformations qui en découle vaut :
epsilon_thêta(r) = u/r = - Rhô (oméga r)^2 (1-nu^2)/(3E)
epsilon_r(r) = du/dr = 3 epsilon_thêta(r)
Le champ de contraintes qui en découle vaut :
sigma_r(r) = - (3 + nu) E epsilon_thêta/(1-nu^2) soit
sigma_r(r) = -(3 + nu) Rhô (oméga r)^2/3
sigma_thêta(r) = - (1 + 3 nu) E epsilon_thêta/(1-nu^2) soit
sigma_thêta(r) = - (1 + 3 nu) Rhô (oméga r)^2/3
Il suffit maintenant, pour annuler la contrainte radiale sur le bord du disque de rayon R, d'ajouter, à ce champ de contraintes, le champ de contraintes de traction uniforme suivant :
sigma_thêta = sigma_r = (3 + nu) Rhô (oméga R)^2 / 3
En appelant v = oméga R, la vitesse circonférentielle en bordure du disque, on obtient alors, sur le bord du disque, la contrainte de traction circonférentielle suivante :
sigma_thêta(R) = (2/3) (1-nu) Rhô v^2
Pour un anneau :on aurait trouvé (très facilement par contre) sigma_thêta(R) = Rhô v^2
- de rayon R,
- de masse volumique Rhô,
- tournant à la vitesse v
Pour un disque tournant, l'éclatement du disque par l'effet de la force centrifuge se produit donc pour une vitesse circonférentielle de rotation v telle que
(2/3)(1-nu) Rhô v^2 = Rm où Rm = limite de ruture de l'acier considéré
D'où une vitesse limite d'éclatement du disque v = {3 Rm/[2 Rhô(1-nu)]}^(1/2)
Pour un disque en acier, de limite de rupture Rm = 1000 MPa par exemple, on trouve une vitesse d'éclatement :
v = {3 Rm/[2 Rhô(1-nu)]}^(1/2) = [3x10^9/(2x7850x0.91)]^(1/2) = 458 m/s
Pour plus de détails sur les calculs, on pourra se reporter à : « Disque tournant relativiste élastique isotrope » http://lebigbang.pagesperso-orange.fr/disque.htm . On y calcule (en utilisant les approximations permises par le fait que v^/c^2 << 1), l'effet extrêmement faible, mais non nul, de la contraction circonférentielle de Lorentz sur un disque tournant (qui n’est pas un effet relatif dans le contexte des référentiels tournants).
Les équations et calculs de mon présent post sont écrits et expliqués plus en détails dans le contexte d’une précontrainte de déformation circonférentielle de Lorentz imposée par la vitesse de rotation du disque (au lieu d'un chargement par la "force centrifuge"(1)) mais ça ne change presque rien aux calculs eux mêmes.
(1) Ces guillemets sont surtout là pour faire joli. En effet, la notion de force centrifuge n'est pas plus (et pas moins) illégitime que la notion de poids contrairement à ce que disent ceux qui ne connaissent pas le principe d'équivalence de la Relativité Générale.
Dernière modification par chaverondier ; 25/02/2012 à 18h27.
Perdu !
Dommage !
Ben non. C'est u(r) = - Rhô oméga^2 r^3 (1-nu^2)/(8E)
Le champ de déformations qui en découle vaut :
epsilon_thêta(r) = u/r = - Rhô (oméga r)^2 (1-nu^2)/(8E)
epsilon_r(r) = du/dr = 3 epsilon_thêta(r)
Le champ de contraintes qui en découle vaut :
sigma_r(r) = - (3 + nu) E epsilon_thêta/(1-nu^2) soit
sigma_r(r) = -(3 + nu) Rhô (oméga r)^2/8
sigma_thêta(r) = - (1 + 3 nu) E epsilon_thêta/(1-nu^2) soit
sigma_thêta(r) = - (1 + 3 nu) Rhô (oméga r)^2/8
Il suffit maintenant, pour annuler la contrainte radiale sur le bord du disque de rayon R, d'ajouter, à ce champ de contraintes, le champ de contraintes de traction uniforme suivant :
sigma_thêta = sigma_r = (3 + nu) Rhô (oméga R)^2 /8
En appelant v = oméga R, la vitesse circonférentielle en bordure du disque, on obtient alors, sur le bord du disque, la contrainte de traction circonférentielle suivante :
sigma_thêta(R) = (1/4) (1-nu) Rhô v^2
Pour un disque tournant, l'éclatement du disque par l'effet de la force centrifuge se produit donc pour une vitesse circonférentielle de rotation v telle que
(1/4) (1-nu) Rhô v^2 = Rm où Rm = limite de ruture de l'acier considéré
D'où une vitesse limite d'éclatement du disque v = {4 Rm/[Rhô(1-nu)]}^(1/2)
Pour un disque en acier, de limite de rupture Rm = 500 MPa (plus courante que 1000 MPa) par exemple, on trouve une vitesse d'éclatement :
v = {4Rm/[Rhô(1-nu)]}^(1/2) = [2x10^9/(7850x0.7)]^(1/2) = 603 m/s
Bonjour, Chaverondier,
Très belle démonstration et surtout très belle reprise de correction, magnifique.
Maintenant est ce que ça intéresse toujoursEsdobrad, que pense t-il de ce résultat.Cordialement.
Jaunin__
Moi je me demande si le champs de déplacement est suffisment faible pour qu'on puisse négliger son influence sur la contrainte.
Sûrement pas. Il ne pourrait y avoir un champ de contraintes équilibrant la "force centrifuge" (1) sans le champ de déformations induit par ce champ de contraintes. La relation entre les deux champs est d'ailleurs précisée, dans mon précédent message, dans le modèle des contraintes planes avec un matériau élastique, linéaire, homogène et isotrope, de module élastique E et de coefficient de Poisson Nu.
(1) Les guillements sont là pour faire joli. La force centrifuge est une notion tout aussi légitime (pas plus et pas moins) que la notion de poids (en raison du principe d'équivalence de la Relativité Générale).
0,7 ça me semble beaucoup pour le coeff de poisson de l'acier non?
Bonjour, Light-is-right,
Non, ce n'est pas le coeff de poisson de l'acier, mais si vous regardé bien c'est (1-nu).
Cordialement.
Jaunin__
Sauvez moi!
Je suis vraiment au fond du seau!
