Mécanique des fluides

[invite0bb5307a]

Bonjour, je bloque à cet exercice, pouvez-vous m'aider?

On considère le barrage, à base rectangulaire, dont le profil est dessiné ci contre :
1) Donner l'expression de la pression P(z) au sein de l'eau
Comme l'axe est descendant : P=ρe*g*z

2) Quelle est la force subie par le barrage au niveau de la face en contact avec l'eau ?
On a dF= intégrale (P*dS)
Je trouve pas comment intégrer.

3) Quelle est la force subie par le barrage au niveau de la face en contact avec l'air ?
Je comprends pas où ça se situe. Mais ça doit être pareil qu'avant mais avec ρ.

4) Le barrage, posé sur le sol, est immobile, grâce aux forces de frottement s'exerçant au contact de sol. Soi f le coefficient de frottements statique caractérisant ce contact: on rappelle que la réaction d'un support sur un système en contact comporte deux composantes, normale et tangentielle au support : R=T+N, avec la relation T < f*N lorsque le système est immobile par rapport au support. Exprimer N et T.
Je pense qu'il faut faire le bilan des forces puis projeter sur un axe mais je ne peux pas répondre sans les questions précédentes.

5) A quelle condition le barrage ne glisse-t-il pas?


Merci.
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[invite14e30298]

bonjour,

1)
dans ton expression de la pression tu ne tiens pas compte de l angle d'incidence
2)
dS=dl.dh avec dl=composante de la largeur du barrage (s integre de 0 à L,largeur totale du barrage) et dh=composante de la hauteur du barrage (fonction de z et de
3)
je dirai que ca correspond à la petite hauteur qui émerge de l'eau en O;la seule pression ici est la pression atmosphérique qui s'applique des 2 côtés, donc par symétrie la force résultante de pression par l'air est nullle
4)
il faut simplement écrire l'équilibre entre le poids du barrage et R

bon courage

[invite14e30298]

pour le 4) j ai oublié de préciser qu il faut évidement inclure les frottements !!

[invite0bb5307a]

Pour la question 1, je ne comprends pas pourquoi la pression dépend de alpha. Elle dépend juste de la profondeur, non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e30298]

Ce serait vrai si la paroi du barrage n'étais pas inclinée d'un angle , non?

[invite14e30298]

petite précision pour t'aider :
si tu projette l'axe z sur la paroi du barrage, tu vois directement qu'il te faut prendre en compte l angle
(l'eau est en contact avec la paroi du barrage, pas avec l'axe Z (excepté en O))

[invite0bb5307a]

On a l'expression dP = Rhô(e) * g * dz
Je trouve P = Rhô(e) * g * H / cos (alpha)

C'est ça?

[invite14e30298]

vu ton dessin on a cos()=
en supposant que l'angle entier est 2.

[invite0bb5307a]

Enfin z/cos(alpha)

Mais après je vois pas pour la force. Il y aurait deux cos alpha?

[invite14e30298]

pourquoi 2cos?
tu vas trop vite
pose bien ton intégrale en écrivant les limites avant de passer aux calculs
df=P.ds=gz.ds avec ds=dh.dl=(dz/cos()).dl où dl correspond à la largeur du barrage et dh correspond à la hauteur du barrage)

[invite0bb5307a]

Pour la question 2 j'ai la force = L * Rhô * g * H / cos(alpha)2

[invite14e30298]

presque : Lg/(2cos)

[invite0bb5307a]

P = Rhô g z ou Rhô g z / cos alpha?

[invite0bb5307a]

Parce que si P= Rhô g z je trouve F = L Rhô g Hcarré/ (2cos alpha)
Et sinon le cosinus est au carré.

[invite14e30298]

non je confirme ce que j ai dit (j ai refait le calcul)

on a df=ghcos()dl.dh (attention ! la surface en contact avec l eau est ds=dl.dh)
en intégrant on obtient f=gLcos() avec hmax=longueur de la paroi inclinée du barrage=

[invite0bb5307a]

Ok pour les deux questions.
Pour l'air c'est pareil mais avec Rhô au lieu de Rhô(e)

[invite8aa0ec7f]

p à gauche = rhoe * g *z quelque soit l'inclinaison de la surface. (à z=H, la pression dans l'eau est rhoe * g * H)

je me permet aussi de signaler que cette formule n'est valable que si l'on considère le zéro relatif (pression atmosphérique: à z=0, pg = 0) et non le zéro absolu pour les pressions.

alors pour la paroi de droite, effectivement, on peut écrire que p à droite= rhoair * g *z = 0 car, en général, la variation de pression atmosphérique dans l'air est négligé tant elle est faible (0.12 bars par km vertical en considérant un rhoair constant).

si on fait par rapport au zéro absolu:
pg = rhoe * g * z + pa et pd = pa (+ rhoair * g * z)


Ensuite, il faut effectivement tenir compte de l'inclinaison de la paroi dans le calcul de dF.

dF = p * dS = p * dl * dL (avec L largeur du barrage, l "hauteur" du plan incliné) or dl * cos alpha = dz

donc dF = p * (dz/cos alpha) * dL = rhoe * g * z/cos alpha * dz * dL

il reste plus qu'a intégrer de [0 à L] pour dL et de [0 à H] pour dz

F= (rhoe * g / (2 cos alpha)) * L * H²

[invite8aa0ec7f]

Pour la question 4, il faut projeter l'effort F sur l'axe x et l'axe z.

Sur l'axe x, tu auras l'effort T.
Sur l'axe z, tu auras l'effort N.

Connaissant T et N, il te faudra alors calculer le coefficient de frottement f minimal.

PS: tu es en quelle classe? année? juste pour savoir à quel niveau est donné ce type d'exercice.

[invite0bb5307a]

Ok donc j'avais juste dès le début.
Je continue et je reviens.
Je suis en deuxième année de BCPST. Je prépare l'oral là.

[invite14e30298]

non parceque dès le début tu ne tenais pas compte de et qu ensuite pour exprimer la force tu parlais d'un .....

[invite8aa0ec7f]

Ok donc j'avais juste dès le début.
Je continue et je reviens.
Je suis en deuxième année de BCPST. Je prépare l'oral là.

ça prend 30 secondes la suite et encore...

[invite0bb5307a]

Bilan des forces: les deux forces de pression, la réaction du support et le poids?
T = (Rhôe - Rhôa) g L Hcarré / (2 cos alpha)
N = Rhô g L Hcarré tan alpha

Donc pour la 5: f sinon alpha > (Rhôe - Rhôa) / 2 Rhô.

[invite14e30298]

L expression de N n est pas correcte

[invite8aa0ec7f]

Bilan des forces: les deux forces de pression, la réaction du support et le poids?
T = (Rhôe - Rhôa) g L Hcarré / (2 cos alpha)
N = Rhô g L Hcarré tan alpha

Donc pour la 5: f sinon alpha > (Rhôe - Rhôa) / 2 Rhô.

1-si tu tiens compte de rhoair alors il devrait apparaitre dans les 2 expressions.

2-L'effort tangentiel T n'est pas égal à Feau-Fair, mais à la projection de (Feau - Fair) sur l'axe x. Feau et Fair ne sont pas portés par x. Ils sont portés par les normales aux plans inclinés.

3-Au final, ça équivaut à faire T = F cos alpha sur x ou si tu préfères T = (Feau-Fair) cos alpha

Et, N= F tan alpha (+ poids du barrage) sur z ou si tu preferes N = (Feau + Fair) tan alpha (+ poids du barrage) (le plus vient du fait que les 2 forces poussent vers le bas)


Maintenant, on ne tiens couramment pas compte de la variation de pression atmosphérique car elle est négligeable par rapport aux autres efforts. (0.01 bar de variation pour un barrage de 100m de haut alors qu'on a 9.81 bars de pression de l'autre coté (981 fois plus donc))

[invite14e30298]

Ensuite, il faut effectivement tenir compte de l'inclinaison de la paroi dans le calcul de dF.

dF = p * dS = p * dl * dL (avec L largeur du barrage, l "hauteur" du plan incliné) or dl * cos alpha = dz

donc dF = p * (dz/cos alpha) * dL = rhoe * g * z/cos alpha * dz * dL

il reste plus qu'a intégrer de [0 à L] pour dL et de [0 à H] pour dz

F= (rhoe * g / (2 cos alpha)) * L * H²

et " 2-L'effort tangentiel T n'est pas égal à Feau-Fair, mais à la projection de (Feau - Fair) sur l'axe x. Feau et Fair ne sont pas portés par x. Ils sont portés par les normales aux plans inclinés.

3-Au final, ça équivaut à faire T = F cos alpha sur x ou si tu préfères T = (Feau-Fair) cos alpha "

y a pas comme une contradiction?.....

[invite8aa0ec7f]

et " 2-L'effort tangentiel T n'est pas égal à Feau-Fair, mais à la projection de (Feau - Fair) sur l'axe x. Feau et Fair ne sont pas portés par x. Ils sont portés par les normales aux plans inclinés.

3-Au final, ça équivaut à faire T = F cos alpha sur x ou si tu préfères T = (Feau-Fair) cos alpha "

y a pas comme une contradiction?.....

Non ou je ne suis peut être pas clair.

La pression s'applique perpendiculairement à la surface de contact, elle crée donc une réaction portée par la normale à la surface de contacte.
Par contre, la pression dépend directement de la profondeur (axe z).

Exemple: à la profondeur H, la pression p vaut rhoe * g *H. C'est l'inclinaison (ou non) de la surface de contact qui va donner la direction de la force.
Au finale, que la paroi soit verticale ou inclinée, l'effort sur x sera le même. Par contre, l'inclinaison va créer un effort sur z qui n'existe pas pour une paroi verticale.

Une autre manière de voir la chose, c'est de considérer que la surface inclinée est assimilable à deux surfaces, une verticale de dimension L * H et une horizontale de dimension L* H *tan alpha sur lesquelles s'applique une répartition de pression allant de rhoe * g * H à une extrémité jusqu'à 0 à l'autre extrémité.


Ce que l'on retrouve par les projections des forces.

Feau est perpendiculaire au plan incliné en contact avec l'eau, il est dirigé dans le sens positif sur x et sur z, en gros, il est dirigé vers le bas à droite avec un angle de alpha par rapport à x.

Fair est perpendiculaire au plan incliné en contact avec l'air, il est dirigé dans le sens négatif sur x et positif sur z, en gros, il est dirigé vers le bas à gauche avec un angle de alpha par rapport à x.

[invite14e30298]

ce que je voulais dire c'est qu en appliquant tes expressions on a
par exemple pour feau=(rhoe * g / (2 cos alpha)) * L * H² et T = F cos alpha sur x
si on fais le produit ; quid de l'angle qui disparait à cause du produit?
tout se passerait comme si on avait une paroi verticale

[invite0bb5307a]

Je suis de retour !

Question 1: dP = rho(e) g dz
donc P = rho(e) g z

A partir de là, je ne comprends pas le débat.. Que faut-il négliger ? rho(a) par rapport à rho(e) ?

Question 2: j'avais trouvé F = rho(e) g L H² / (2 cos(alpha))
mais si je l'exprime en vecteur, ça devient quoi?

Question 3: j'avais mis la même norme que la question précédente mais avec rho(a)
mais c'est là que je comprends pas..

Après du coup, je peut pas continuer sans que j'ai réellement compris quelles étaient les expressions vectorielles des questions précédentes.

[invite8aa0ec7f]

ce que je voulais dire c'est qu en appliquant tes expressions on a
par exemple pour feau=(rhoe * g / (2 cos alpha)) * L * H² et T = F cos alpha sur x
si on fais le produit ; quid de l'angle qui disparait à cause du produit?
tout se passerait comme si on avait une paroi verticale

C'est le cas, mais uniquement pour l'action sur x.

L'avantage du plan incliné c'est de rajouter au poids propre du barrage, l'action de la pression de l'eau sur la paroi. (du coup, barrage moins lourd nécessaire)

[invite8aa0ec7f]

Je suis de retour !

Question 1: dP = rho(e) g dz
donc P = rho(e) g z

A partir de là, je ne comprends pas le débat.. Que faut-il négliger ? rho(a) par rapport à rho(e) ?

Question 2: j'avais trouvé F = rho(e) g L H² / (2 cos(alpha))
mais si je l'exprime en vecteur, ça devient quoi?

Question 3: j'avais mis la même norme que la question précédente mais avec rho(a)
mais c'est là que je comprends pas..

Après du coup, je peut pas continuer sans que j'ai réellement compris quelles étaient les expressions vectorielles des questions précédentes.

j'avais pas lu la question 3, désolé. Trop habitué aux exos classiques où la pression atmosphérique "se compense"!

Il faut donc faire les calculs en pression absolu.

Vu l'heure, je te donnerai la solution complète demain peut être même avec un z'oli plan et tout et tout... là, je vais dormir.