Bonjour,
J'ai un petit conflit entre mon cours, et ce que j'ai entendu dire.
Dans mon cours il est fait opposition entre groupe continus: les groupes de Lie et les groupes discrets.
Mais j'ai entendu dire que Z etait un groupe de Lie, or pour moi Z est un groupe discret et pas un groupe de Lie.
Du coup je sais pas quoi en penser.
Merci.
Salut :En algèbre générale, des structures plus générales sont définies en omettant certains axiomes de la définition des groupes. Par exemple, si la condition que chaque élément possède un symétrique est éliminée, on obtient une structure algébrique appelée monoïde. Les nombres entiers naturels N, munis de l'addition, forment un monoïde, de même que l'ensemble des entiers relatifs non nuls munis de la multiplication (Z \ {0}, ·) vu plus haut. Il existe une méthode générale pour ajouter de façon formelle des symétriques aux éléments d'un monoïde commutatif, de façon analogue à celle dont (Q \ {0}, ·) est dérivé de (Z \ {0}, ·). Le groupe ainsi obtenu est appelé groupe de Grothendieck (en) du monoïde. wikipédia
Les groupes de Lie (du nom de Sophus Lie) sont des groupes qui ont une structure de variété différentiable, c'est-à-dire qui sont des espaces localement semblables à un espace euclidien d'une certaine dimension. Là encore, la structure additionnelle — ici, la structure de variété — doit être compatible avec celle de groupe, c'est-à-dire que les fonctions correspondant à la multiplication et à l'inverse doivent être différentiables. wikipédia
Salut!
Z est effectivement un groupe de Lie, applique juste la def.
Salut,Envoyé par MissPacMan
Quel est la variété associée ? J'ai du mal à voir là...
Salut!
à toi l'honneur de nous montrer comment appliquer la définition pour la démonstration :MissPacMan .
Je suppose que pour avoir la continuité, il faut utiliser une topologie adaptée à Z.
Peut être la topologie discrète.
La variété associée c'est... Z, muni de sa topologie naturelle (discrete donc). Il est localement homeo a R^0, et les fonction de transition, ben y en a pas, donc elles sont clairement differentiables.
Le passage a l'inverse et la multiplication sont bien lisses.
Bon apres c'est vrai qu'il est pas interessant comme groupe de Lie, car la theorie de Lie, ne "voit" que la composante neutre du groupe, donc ici le groupe trivial. Son algèbre de Lie est d'ailleurs nulle.
