SpaceTime Algebra

[Médiat]

Bonjour,

Je m'intéresse en ce moment à l'algèbre géométrique et en particulier à STA (Space-Time Algebra), c'est à dire à l'algèbre géométrique construite sur , l'algèbre réelle de Clifford de signature (+ - - -).

Que ceux qui connaissent mon incapacité absolue à comprendre les concepts les plus élémentaires de la physique se rassurent, c'est l'aspect mathématique qui m'intéresse.

Je trouve dans différents documents la définition : , la partie gauche est le produit géométrique, et la partie droite la forme bilinéaire symétrique non dégénérée définie sur (dans le cas particulier de STA), si , alors , jusque là pas de souci.

Dans certains documents (1) on trouve un ajout : .

Dans d'autres (2) on trouve , avec la précision que .


Dans ce dernier cas il est précisé (pour ) que

si , alors est de type espace
si , alors est de type lumière
si , alors est de type temps

Si (ce qui me paraît vraisemblable), la première affirmation est fausse, la deuxième est correcte, mais c'est une façon "tordue" de dire que est négatif, positif ou nul.

Dans cette acception de la définition, je comprends qu'un vecteur non nul est :
de type espace si
de type lumière si
de type temps si


Pouvez-vous me confirmer/infirmet ma compréhension, que je résume :

1. 
2. (sous la racine, les barres verticales représentent la valeur absolue du nombre réel )
3. Le type de vecteur est définie par le signe de

Merci d'avance

Par exemple (j'ai trouvé plusieurs occurences de chaques cas, évidemment, la caution de David Hestenes devrait suffire ) :
(1) A Survey of Geometric Algebra and Geometric Calculus Alan Macdonald Luther College, Decorah, Indiana
(2) Spacetime Physics with Geometric Algebra1 David Hestenes Department of Physics and Astronomy Arizona State University, Tempe, Arizona.
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[Amanuensis]

Rien dans les conclusions qui soit contraire aux usages que je connais en physique. Ce qui n'est pas informatif pour la notation sans point entre deux vecteurs dont je n'ai pas rencontrée d'usage en physique (par contre on trouve de temps en temps la notation par simple apposition pour l'application d'une forme à un vecteur).

On trouve aussi (en physique) pour , c'est à dire la valeur signée.

Enfin, en physique il n'est pas usuel de mettre la flèche pour les 4-vecteurs (elle est plutôt réservée aux 3-vecteurs spatiaux).

[Médiat]

Bonjour,

D'abord merci de ces réponses (qui me rassurent), par contre vous soulevez un autre sujet qui m'avait paru sans ambiguité :

Produit Géométrique :
Produit Interne :
Produit Externe :
Produit Vectoriel : (convention anglo-américaine puisqu'en France on utilise plutôt , ce qui crée de la confusion avec le produit externe)

Ces notations sont utilisés dans tous les documents que j'ai pu lire, si vous en connaissez d'autres, je suis intéressé par l'information.


J'ai gardé la notation avec la flèche, car je veux donner (dans le document "Ensemble de Nombres") des informations sur toutes les GA et pas uniquement sur STA, et cela me permet de distinguer les vecteurs (de l'espace de base, ce qui est une vision purement mathématique, je l'avoue) des autres éléments de l'algèbre (scalaires, bivecteurs, pseudoscalaires, etc.) ceci étant explicité, dans le document et de toute façon, je n'y parle pas d'interprétation géométrique, juste de l'aspect algébrique.

[Amanuensis]

Produit Géométrique :

Pas rencontré ni le terme ni la notation en physique.

Produit Interne :

On rencontre différentes appellations. Pour moi "produit interne" est trompeur, le résultat étant un scalaire. Produit scalaire me semble plus courant.

Produit Externe :

De quel produit s'agit-il ? Dans les textes de physique "avancé", c'est celui dont le résultat est un tenseur d'ordre 2 totalement antisymétrique (c'est le produit tensoriel modulo l'idéal engendré par les produits tensoriels d'un vecteur par lui-même). Et il me semble qu'on rencontre plutôt "produit extérieur", en ligne avec la notion d'algèbre extérieure.

Produit Vectoriel :

En physique le terme produit vectoriel me semble réservé à la 3D euclidienne (lié à un isomorphisme, spécifique à la 3D, entre l'espace des tenseurs antisymétrique d'ordre 2 et l'espace des vecteurs). Je ne connais pas d'usage de ce terme en 4D.

Si vous en connaissez d'autres,

Il y en a plein. En relativité générale (cas différent de celui indiqué, qui correspond à l'espace-temps de Minkowski), la notation la plus courante est celle indicée. Par exemple le produit scalaire s'écrit ; on voit souvent cela présenté comme parlant de composantes, mais on peut très bien interpréter cela comme une écriture portant sur les objets, les indices étant alors là pour indiquer la nature de l'objet et quelle(s) contraction(s) appliquer.

Il y a aussi toutes les notations utilisées quand on distingue les formes et les vecteurs, quand on distingue u et la forme v --> u.v

J'ai gardé la notation avec la flèche,

J'avais compris, je ne critiquais pas, j'exposais juste un fait.

(Perso, je n'ai aucun esprit "normatif" en ce qui concerne les notations (du moins entre des textes d'origines différentes) ; la seule chose qui m'importe est de savoir ce dont il est question.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

En physique le terme produit vectoriel me semble réservé à la 3D euclidienne (lié à un isomorphisme, spécifique à la 3D, entre l'espace des tenseurs antisymétrique d'ordre 2 et l'espace des vecteurs).

Pour préciser et rapprocher les notions, il me semble que "produit vectoriel" est utilisé couramment pour le résultat obtenu en appliquant un tel isomorphisme (il y en a deux presque canoniques, différant par l'orientation) au résultat du produit extérieur (au sens que j'ai indiqué), le résultat étant alors un vecteur.

[Médiat]

Pas rencontré ni le terme ni la notation en physique.

Vous m'inquiétez, c'est un terme que j'ai trouvé presque partout, en particulier dans les textes de David Hestenes (l'initiateur de STA)

On rencontre différentes appellations. Pour moi "produit interne" est trompeur, le résultat étant un scalaire. Produit scalaire me semble plus courant.

C'est l'Inner Product des anglais. Pour moi (en tant que mathématicien) produit scalaire n'est pas acceptable puisqu'un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique, définie, positive ce qui n'est pas le cas de la métrique de Minkowski. Par contre faut-il l'appeler Produit Interne ou Intérieur, je ne sais pas.

Je ne conteste pas l'usage du physicien, mais dans un texte mathématique je dois respecter les définitions mathématiques.

De quel produit s'agit-il ? Dans les textes de physique "avancé", c'est celui dont le résultat est un tenseur d'ordre 2 totalement antisymétrique (c'est le produit tensoriel modulo l'idéal engendré par les produits tensoriels d'un vecteur par lui-même). Et il me semble qu'on rencontre plutôt "produit extérieur", en ligne avec la notion d'algèbre extérieure).

C'est bien le outer product des anglais, j'ai choisi Produit Externe mais je ne vois aucun inconvénient à le renommer Produit Extérieur si c'est l'usage, qui à deux vecteurs fait correspondre un bivecteur (et qui est généralisé à tous les k-vecteurs)

En physique le terme produit vectoriel me semble réservé à la 3D euclidienne (lié à un isomorphisme, spécifique à la 3D, entre l'espace des tenseurs antisymétrique d'ordre 2 et l'espace des vecteurs). Je ne connais pas d'usage de ce terme en 4D.

Vous avez raison, il n'existe des produits vectoriels qu'en dimension 3 et 7 (0 et 1 aussi pour être inutilement complet), je ne le citais que pour le différencier du précédent alors qu'en France la notation est la même.

Il y en a plein. En relativité générale (cas différent de celui indiqué, qui correspond à l'espace-temps de Minkowski), la notation la plus courante est celle indicée. Par exemple le produit scalaire s'écrit ; on voit souvent cela présenté comme parlant de composantes, mais on peut très bien interpréter cela comme une écriture portant sur les objets, les indices étant alors là pour indiquer la nature de l'objet et quelle(s) contraction(s) appliquer.

Pour l'aspect purement algébrique, qui est celui qui m'intéresse, je m'en tiendrais aux notations de D. Hestenes, celle que vous citez ressemble plus à une définition qu'à une notation.


Pour résumer, je vous remercie beaucoup de votre temps et de vos informations qui m'ont permis de résoudre totalement mon problème initial, et qui m'a apporté quelques éclairages sur les notations

[Amanuensis]

Pas rencontré ni le terme ni la notation en physique.

Après réflexion, je vais mettre un bémol.

1) Jamais rencontré le terme "produit géométrique" en physique ;

2) Jamais rencontré en physique la notation apposant deux vecteurs fléchés. Mais il y a la notation indicée proche, qui note le produit tensoriel.

[Médiat]

1) Jamais rencontré le terme "produit géométrique" en physique ;

Cette expression est très courante en anglais, y compris par D. Hestenes, je vais juste en déduire que ce n'est pas l'habitude française.

2) Jamais rencontré en physique la notation apposant deux vecteurs fléchés. Mais il y a la notation indicée proche, qui note le produit tensoriel.

Je n'ai donné qu'un exemple de l'apposition pour des vecteurs, mais elle est définie pour tous les éléments de l'algèbre de Clifford.

Il me semble qu'effectivement cela ressemble bien au produit au produit tensoriel ...

[Amanuensis]

je vais juste en déduire que ce n'est pas l'habitude française.

95% de ce que je lis en physique, en dehors des forums francophones et de La Recherche, est en anglais

[Médiat]

Si cela vous intéresse, voici quelques liens.

D. O. Hestenes, http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/SpacetimePhysics.pdf "Spacetime Physics with Geometric Algebra"

D. O. Hestenes, http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/UnifiedLang.pdf "A Unified Language for Mathematics and Physics"

G. Sobczyk, http://www.garretstar.com/secciones/...s/BANFFSOB.pdf "Clifford Algebra Lecture"

[silk78]

Bonjour,

Je ne suis encore qu'étudiant et je ne saurais donc avoir une connaissance complète des outils utilisés en physique mais voilà ce dont j'ai l'impression : j'ai déjà rencontré l'algèbre géométrique en physique (et notamment le produit géométrique, qui si je ne me trompe n'est pas vraiment un produit tensoriel) mais dans assez peu de papiers et d'ouvrages. L'aglèbre géométrique permet, au prix d'abord d'une certaine abstraction, de ré-exprimer un certain nombre de lois de la physique de façon plus naturelle et élégante, faisant notamment apparaitre une structure géométrique derrière certaines équations (on peut par exemple citer l'interprétation du spin dans l'équation de Dirac comme bi-vecteur de STA). Si je ne me trompe pas, l'algèbre géométrique permet aussi d'avoir un formalisme unique pour l'utilisation de plusieurs outils apparemment différents (tenseurs, spineurs, ...). Il existe donc des utilisations de l'algèbre géométrique (et notamment de STA) en physique, mais celles-ci restent cependant assez rares et propres aux domaines les plus mathématiques, même au sein de la physique mathématique, toujours à la recherche d'un formalisme abstrait et assez complexe mathématiquement parlant mais permettant une expression simple, élégante et unifié de la physique (domaine dont Hestenes est plus ou moins un expert). Cependant, la plus grande partie de la physique, même parmi les théoriciens en physique fondamentale, n'utilise pas ce formalisme mais d'autres un peu plus simple (tenseurs, spineurs, ...) qui restent parfaitement suffisant pour les applications recherchées.

Voilà, peut-être me trompe-je et dans ce cas, n'hésitez pas à me corriger, mais c'est mon ressenti sur le sujet.

Bonne soirée,

Silk

[Burakumin]

... Cependant, la plus grande partie de la physique, même parmi les théoriciens en physique fondamentale, n'utilise pas ce formalisme mais d'autres un peu plus simple (tenseurs, spineurs, ...) qui restent parfaitement suffisant pour les applications recherchées.

Je ne suis pas certain de comprendre comment on peut comprendre les spineurs en faisant l'impasse sur les algèbres géométriques/de clifford. Ni même en donner une définition... Juste un avis. Et un brin de curiosité

[silk78]

C'est surement lié fondamentalement aux algèbres de Clifford mais dans un des cours que j'ai lu, les spineurs étaient juste introduit comme une représentation de SO(3,1) différentes des tenseurs, celle de SL(2,C). Et nul part dans le cours était fait mention d'algèbre géométrique ou de Clifford.
Ensuite, je suis persuadé qu'elles sont nécessaires pour avoir une compréhension complète de ce qu'est fondamentalement un spineur mais j'ai l'impression, qu'au moins dans ce cours, on manipulait les spineurs sans ça.

[Magnétar]

Bonjour,

Bon j'y vais de ma toute petite remarque :

produit scalaire n'est pas acceptable

Oui, il est souvent appelé pseudo-produit scalaire par les physiciens qui se souviennent que ce n'est justement pas un produit scalaire.

Pour le reste les commentaires d'Amanuensis me semble bien refléter la vision des physiciens (un peu matheux quand même). En particulier je n'ai jamais rencontré non plus la notion de produit géométrique.

[Médiat]

Bonjour,

Oui, il est souvent appelé pseudo-produit scalaire par les physiciens qui se souviennent que ce n'est justement pas un produit scalaire.

C'est bien le vocabulaire que j'ai décidé d'utiliser.

Pour être plus précis : Le produit intérieur dont j'ai parlé dans le message #3 et noté n'est défini que pour les vecteurs (d'où la notation avec les flèches), et sa généralisation à l'ensembles des multi-vecteurs n'est pas aussi naturelle que pour le produit extérieur, en fait il y en a 5 :
2 contractions, 2 produits intérieurs, un produit pseudo-scalaire noté .

[Rincevent]

Bonsoir,

j'ai déjà rencontré l'algèbre géométrique en physique (et notamment le produit géométrique, qui si je ne me trompe n'est pas vraiment un produit tensoriel) mais dans assez peu de papiers et d'ouvrages. (...) Cependant, la plus grande partie de la physique, même parmi les théoriciens en physique fondamentale, n'utilise pas ce formalisme mais d'autres un peu plus simple (tenseurs, spineurs, ...) qui restent parfaitement suffisant pour les applications recherchées.

entièrement d'accord. À ceci près que l'une des ambitions de Hestenes est apparemment de rendre "inutiles" les nombres complexes (voire la géométrie différentielle), ce qui (me) semble un peu utopiste [en plus son critère de "simplicité" est très relatif]. En clair : ça a des utilités concrètes dans des domaines précis (un peu comme les quaternions qui sont employés en informatique pour gérer des rotations dans l'espace), d'autres personnes ont espoir de construire de nouvelles théories gravitationnelles ou quantiques à partir de ça, mais tout ça reste extrêmement anecdotique [surtout que les nombres complexes sont omniprésents, via des fonctions analytiques, des surfaces de Riemann, des variétés de Kähler ou plein de joyeuseries du genre]

C'est surement lié fondamentalement aux algèbres de Clifford mais dans un des cours que j'ai lu, les spineurs étaient juste introduit comme une représentation de SO(3,1) différentes des tenseurs, celle de SL(2,C). .

en effet : un physicien "usuel" va en général entendre parler de "représentation bivaluée" (ou éventuellement "à une phase près") mais pas de Clifford... un peu comme Monsieur Jourdain...

[Médiat]

Bonjour,

À ceci près que l'une des ambitions de Hestenes est apparemment de rendre "inutiles" les nombres complexes (voire la géométrie différentielle), ce qui (me) semble un peu utopiste [en plus son critère de "simplicité" est très relatif].

Après avoir rappelé que je suis d'une nullité abyssale en physique (mon cerveau s'y refuse, comme il se refuse à la patisserie, alors que je suis plutôt bon cuisinier ), il me semblait que, justement on retrouvait les complexes dans les algèbres G2, G3 et M (Minkowski), et dans ce dernier cas, grace à la signature (+ - - -), ce qui ne serait pas le cas (avec un plongement similaire au cas G2 et G3, à savoir, isomorphe à (Scalaires + PseudoScalaires)) avec la signature (- + + + ).

En clair : ça a des utilités concrètes dans des domaines précis (un peu comme les quaternions qui sont employés en informatique pour gérer des rotations dans l'espace),

Et que l'on y retrouvait aussi les quaternions.

[Médiat]

ce qui ne serait pas le cas [...] avec la signature (- + + + ).

Ooops, pas réveillé ce matin : Le plongement marche très bien avec la signature (- + + +) (1 signe - ou 3 signes - : le résultat est le même.

[Médiat]

Bonjour,

Je reviens à la charge, car la documentation sur le net est assez "hétéroclite", par exemple, pour la définition d'un rotor (et donc d'une rotation), je trouve parfois :

1) Un rotor R est de la forme "un scalaire + un bivecteur" (quelque soit la dimension).
2) Un rotor R est une combinaison linéaire de k-vecteurs où k est pair.
3) Un Rotor est un produit d'un nombre pair de vecteurs unitaires

plus la condition

a) RR^~ = 1 (R^~ est le reverse de R)
b) RR^~ = 1 ou RR^~ = -1


la rotation peut être définie de deux façons :

I) RuR^~
II) RuR^-1

Certaines de ces combinaisons sont équivalentes, mais pas toutes (elle le sont toutes dans le cas IR^{3, 0} ).

La solution qui me plait le plus est 2 + b + I, mais, existe-t-il une définition officielle (ou "meilleure" que les autres) ?

[Médiat]

Je viens de tomber sur un document plus clair que les autres (de D. Hestenes) j'en arrive à la conclusion que les "Rotations de Lorentz" sont définies par le schéma :
2 + 1 + I.

Je veux bien une confirmation et si possible une explication pourquoi le cas b) n'est pas pris en compte, j'ai l'impression qu'en choisissant a), on s'interdit certains axes de rotation ...

[Médiat]

Bonjour,

Pour ceux que le sujet intéresse, ou dont la curiosité aurait été stimulé, le résultat de mes lectures se trouve là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180, en particulier le sous-chapitre IV-8 (qui appartient au chapitre IV - Méthodes de Construction).

J'ai, bien sûr, adopté un point de vue de mathématicien, c'est à dire que cette présentation peut paraître manquer de pragmatisme aux yeux de physiciens.

Pour information, j'ai fini par comprendre que mes hésitations sur certaines définitions viennent de ce que certains auteurs ne parlent pas "d'algèbre géométrique", mais d'algèbre géométrique dans le cas euclidien, voire uniquement dans le cas de l'espace euclidien (et parfois sans le préciser).

[quantum9]

Pour une introduction rapide, mais relativement complète, à l'algèbre géométrique , avec de nombreux exemples d'application, je signale le site http://phymatheco.pagesperso-orange.fr/ .