Exercice

invite2d0a4474 · 29/12/2012, 14h28

Bonjour,

On considère l'équation de Schrödinger libre en une dimension , $E\psi (x)= - \frac{\hbar ^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi (x)$ pour $x\in R^+$ . On souhaite interdire l'accès a $R^-$ via une condition généralisée :

$\psi '(0)= \lambda\psi (0)$

1) A quelle condition sur $\lambda$ la particule est elle contrainte à rester sur $R^+$ ?
Dans la correction il est dit que $\lambda$ doit être réél. Pas de soucis.

2)Résoudre l'équation de Schrödinger et discuter des cas limites $\lambda = 0$ et $\lambda -> +\infty$ .
Pour repondre à cette question, dans la correction, on commence par écrire la solution stationnaire sous la forme $\psi(x)= A (e^{ikx+2i\eta}+e^{-ikx})$ et j'ai l'impression que cette forme sort d'un chapeau magique... je ne vois pas pourquoi et de quel droit on utilise cette forme.

Cordialement,
Vénus_fermion.

invite2d0a4474 · 30/12/2012, 17h26

Up !!!!! je fais remonter le message

Voilà la correction intégrale du 2)

Écrivons la solution stationnaire sous la forme $\psi(x)= A (e^{ikx+2i\eta}+e^{-ikx})$ . En imposant $\psi ' (0) = \lambda \psi(0)$ on obtient $tan \eta = - \lambda /k$ . La solution est $\psi_k (x) = \sqrt{2/\pi} cos(kx+\eta )$ , normalisée pour que $\int_{0}^{\infty} dx \psi_k (x) \psi_k' (x)$ = δ(k-k'). La limite quand $\lambda = 0$ correspond à une condition de Neumann $(\eta = 0 et \psi ' (0) = 0 )$ et $\lambda = +/- \infty$ à une condition de Dirichlet ( $\eta = \pi / 2$ et $\psi(0)=0$ )

je ne comprends toujours pas d'ou il sort cette forme

**albanxiii** · 30/12/2012, 18h21

Bonjour,

Auriez-vous la référence d'où vient cet exercice ?
A priori, je ne vois pas moi non plus d'où sort l'expression proposée.

@+

invite2d0a4474 · 30/12/2012, 18h34

Bonjour,

Oui, voici le lien http://books.google.fr/books?id=fmID...page&q&f=false : il s'agit du livre Mécanique quantique pour bac+3/+4/+5 de Christophe textier et publié par Dunod.

Il n'est pas complet sur google books. Vous ne trouverez donc pas l'exercice mais je l'ai mis intégralement

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**albanxiii** · 30/12/2012, 18h42

Re,

Merci. C'est surtout pour ce qu'il y a autour de l'exercice que je vous demandais. Cela dit, en regardant rapidement, je j'ai rien vu de particulier.

Le $2i \eta$ est juste un facteur de phase, on devrait pouvoir s'en sortir sans l'écrire (vous voyez pourquoi ?), mais surement au prix de calculs moins symathiques. Avez-vous essayé avec $\psi(x) = B\left( e^{ikx} + e^{-ikx} \right)$ ?

@+

invite2d0a4474 · 30/12/2012, 19h04

Envoyé par albanxiii

Le $2i \eta$ est juste un facteur de phase, on devrait pouvoir s'en sortir sans l'écrire (vous voyez pourquoi ?)

là comme ça, non.

Avez-vous essayé avec $\psi(x) = B\left( e^{ikx} + e^{-ikx} \right)$ ?

Au départ je suis parti sur $\psi(x)=A.e^{ikx}+B.e^{-ikx}$ comme on a toujours fait pour les ondes propagatives.
On fait le raccordement en x=0, on a deux equations

A+B=0
iK(A-B)=0

D'ou $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ iK & -iK \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$ = 0 mais je tombe sur K=0 en calculant le determinant de la matrice. A priori c'est faux.

**albanxiii** · 31/12/2012, 11h09

Re-bonjour,

En fait, vous avez raison ,il faut partir de $\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$ , mais on peut réécrire cette relation sous la forme $\psi(x) = A\left( e^{ikx + 2i\eta} + e^{-ikx}\right)$ en autorisant $\eta$ à prendre des valeurs complexes.

Sans passer par les matrices, on voit que $A = B$ et que $A+B = A+A = B+B = 0$ implique que les deux sont nuls.

Vous avez écrit comme conditions que $\psi(0) = 0$ et $\psi'(0) = 0$ . Si c'est effectivement le cas, l'énoncé qui impose que $\psi'(0) = \lambda \psi(0)$ , n'a guère de sens.... à mon avis, il faut regarder par là.

@+

invite2d0a4474 · 31/12/2012, 14h14

Re,

Envoyé par albanxiii

on peut réécrire cette relation sous la forme $\psi(x) = A\left( e^{ikx + 2i\eta} + e^{-ikx}\right)$

J'aimerais savoir comment.

Sans passer par les matrices, on voit que $A = B$ et que $A+B = A+A = B+B = 0$ implique que les deux sont nuls.

Je ne vois pas comment vous arrivez à voir ça

Cordialement.

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