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Toile tendue et Laplacien



  1. #1
    Rhodes77

    Toile tendue et Laplacien


    ------

    Bonjour à tous

    Je me souviens que pendant mes études, j'avais modélisé en informatique la surface d'une toile tendue entre quatre murs grâce à la résolution numérique de l'équation de Laplace.
    J'essaie de redémontrer analytiquement que la toile vérifie cette équation.
    Pour cela je considère un élément de surface de la toile de dimensions dx.dy, rectangulaire, de centre un point de coordonnées (x,y) dans un repère orthonormé.
    L'élément de surface est soumis en ce point à son poids mg, vertical vers le bas, où on introduit la masse surfacique et l'aire dxdy.
    Il me faut ensuite exprimer la tension à laquelle est soumis l'élément de toile. Je considère donc chacun des sommets du rectangle, de coordonnées (x+dx, y+dy), (x-dx, y-dy) plus les permutations de signes, je dis qu'en ces points règnent les tensions T+dT et je fais un développement limité à l'ordre 1. Je m'y prends sûrement mal puisqu'au final, il me vient 4 fois la tension centrales et les huit contributions du premier ordre s'annulent deux à deux (en fait malgré moi je dois me placer dans le cas d'une tension symétrique sur l'élément de toile et les + compensent les -).

    Je voulais savoir si parmi vous, certains auraient la gentillesse de bien vouloir éclairer ma lanterne.
    Enfin, pour vérifier l'équation de Laplace, il faudrait que j'introduisis un potentiel, mais lequel ? ahah ? Je continue à réfléchir !

    Bonne fin d'année à tous !

    -----
    Etre professionnel ne donne pas le droit d'être pédant

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  3. #2
    Rhodes77

    Re : Toile tendue et Laplacien

    Ou bien est-ce seulement moi qui avais pris le résultat final de la simulation numérique pour l'allure d'une toile tendue sans que ce fut analytiquement le cas ^^ !
    Etre professionnel ne donne pas le droit d'être pédant

  4. #3
    LPFR

    Re : Toile tendue et Laplacien

    Bonjour.
    Pour la tension et les forces sur un petit carré de la toile, ce ne sont pas les sommets qui comptent mais les côtés du carré. Les forces sont la tension multipliée par la longueur du bord du carré.
    Il faut écrire les conditions d'équilibre en tenant compte de la direction des forces sur les bords du carré. Et cette direction est "donnée" par la première dérivée. Puis quand vous faites la somme des forces sur les 4 côtés plus le poids, vous allez trouver une différence de premières dérivées divisées par les dimensions de la toile, ce qui vous donne des deuxièmes dérivées et le Laplacien.
    Au revoir.

  5. #4
    Rhodes77

    Re : Toile tendue et Laplacien

    Merci pour votre réponse rapide.

    A mon sens, une tension est une force, il faut donc que je fasse un petit changement de variable entre mon vocabulaire et le vôtre, pas grave.
    Vous me parlez de direction de la tension, j'entends gradient de force et je comprends. Mes dérivées sont vectorielles.
    Je comprends aussi que dans le poids, je fais apparaître la surface élémentaire qui va passer au dénominateur du principe statique.
    Je galère encore un peu avec les dérivées mais je vais persévérer.
    Je vous avertis si je bug.

    Je cherche en parallèle des aides dans la littérature. Bonne fin d'année.
    Etre professionnel ne donne pas le droit d'être pédant

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    LPFR

    Re : Toile tendue et Laplacien

    Re.
    Non. C'est vous qui avez raison. J'aurais du dire tension de surface (comme pour la capillarité)
    Ou plutôt "tension linéique". Bref, la force est cette tension par mètre multipliée par la longueur du côté du carré.
    Je pense que vous avez intérêt à décomposer le poids en composante perpendiculaire à la toile et composante parallèle.
    A+

  8. #6
    Rhodes77

    Re : Toile tendue et Laplacien

    J'ai progressé en comprenant votre message : la tension ne s'applique pas uniquement sur chacun des sommets mais en chaque point du périmètre de la surface élémentaire.
    J'ai pris le parti de poser T=T(x,y) sans faire apparaître explicitement la côte z. Aussi, dans mon principe statique, je ne vois pas de z. Ca m'ennuie ! Mais je peine à comprendre en quoi il faudrait que T fût un champ tridimensionnel quand il ne concerne qu'une toile bidimensionnelle.
    Enfin, je ne saisis pas que vous parliez de composante tangentielle du poids : c'est une force verticale vers le bas non ? Quand même l'élément de surface ne serait pas horizontal.
    Edit : Oubliez cette dernière ânerie ^^ changement de base vectorielle pour se placer sur la toile ^^

    Encore merci !
    Dernière modification par Rhodes77 ; 31/12/2012 à 12h32.
    Etre professionnel ne donne pas le droit d'être pédant

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  10. #7
    Rhodes77

    Re : Toile tendue et Laplacien

    Je reprends : T=T(x,y) n'empêche pas T de posséder une composante verticale soumise à gradient, que je fais apparaître dans les variations.
    Mes concours me semblent loooooooooooin !
    Etre professionnel ne donne pas le droit d'être pédant

  11. #8
    LPFR

    Re : Toile tendue et Laplacien

    Re.
    Vous pourriez vous inspirer du calcul de la chaînette, qui est similaire mais en une dimension.
    A+

  12. #9
    Rhodes77

    Re : Toile tendue et Laplacien

    Bonjour,

    Merci j'y avais pensé et j'avais gardé un pdf de la démonstration que j'en avais faite il y a quelques années.
    Je n'ai pas repris le temps de me plonger sur le problème mais je le garde sous le coude.
    Merci encore
    Etre professionnel ne donne pas le droit d'être pédant

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