équation d'un dioptre"parfait"

[zyket]

Bonjour,

On sait que pour un dioptre sphérique dans les conditions de Gauss (rayons proches de l'axe optique), les rayons incidents parallèles à l'axe optique du dioptre sont réfractés en rayons concourants au point focal objet (souvent noté F). Or si les rayons s'éloignent trop de l'axe optique ce point F ne peut plus être considéré comme fixe.

Par curiosité je cherche l'équation d'un dioptre "parfait".

J'appelle dioptre "parfait", un dioptre qui réfracterai tous les rayons parallèles à son axe optique (même les plus éloignés) en rayons concourants en un point unique F sur l'axe optique.

En pièce jointe mes réflexions à propos de dioptre asphérique et quelques schémas pour préciser ma pensée au format .pdf

Merci d'avance.

PS
Mon niveau math et physique :terminale S. Merci de corriger les âneries éventuelles
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[WizardOfLinn]

Bonjour
Il s'agit d'un cas particulier d'ovale de Descartes.
Si n>n', on obtient une hyperboloide.
Si n<n', la surface est un ellipsoide
Donc la solution peut bien être représentée par la forme d'équation de ton document, qui décrit une conique (la forme générale des asphériques contient des termes supplémentaires, ce ne sont pas nécessairement des coniques - wikipedia n'est pas très complet à ce niveau).

[zyket]

Merci de cette réponse.

Pourtant j'ai un petit souci : comme indiqué à la fin de mon .pdf, l'équation proposée par wiki ne me donne pas une courbe dont le foyer objet est fixe. Mais je ne suis pas sûr de ma construction. Je la détaillerai prochainement. En attendant je vais tester une autre courbe avec une valeur de K=-1/2.

Je reviendrai sûrement au près de vous.

[zyket]

Me revoilà.

Avec K=-1/2 je n'obtiens pas de foyer objet fixe.

Sur le schéma en pièce jointe, la courbe rouge est la courbe représentative tracée avec Géogebra de la fonction
correspondant à l'équation donnée par wiki (http://fr.wikipedia.org/wiki/Asphérique) avec R=1 et K=-1/2

Je place un point A sur cette courbe.
Je trace la parallèle à l'axe optique passant par A (droite verticale verte pointillée).
Je trace la tangente à la courbe en A (droite bleue).
Je trace la perpendiculaire à cette tangente en A (droite bleue pointillée).
Je trace un cercle de rayon 1 et de centre A.

On sait que d'après le loi de Snell-Descartes, on a , où est l'angle entre le rayon incident et la normale au plan tangent ; est l'angle entre le rayon réfracté et la normale au plan tangent ; et les indices de réfraction des milieux successifs. Comme et sont constants on a . Je pose

Sur mon schéma, pour construire le rayon réfracté du rayon incident en A parallèle à l'axe optique (demi-droite [AG)) , je vais me servir du sinus de l'angle d'incidence pour construire le sinus de l'angle réfracté .

Sur mon schéma :


Je place le point E tel que CE=CB/4 (D milieu de [CB], E milieu de [CD])
Je trace la parallèle à (CA) passant par E. Elle coupe le cercle de centre A et de rayon 1 en J.
Je trace la demi-droite [AJ), c'est le rayon réfracté
Dans ces conditions on a bien

Je note F l'intersection de [AJ) et de l'axe optique.

Dans Geogebra, si je déplace le point A sur la courbe rouge, je constate que le point F n'est pas fixe.

La courbe rouge n'est donc pas ce que j'ai appelé un dioptre "parfait".

Où est mon erreur ?!

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[WizardOfLinn]

Pour R=1, k=-0.5, il n'y a effectivement pas de stigmatisme.
On ne peut pas choisir arbitrairement R et k. Si on fixe R, il faut calculer k.
Pour n1=1, n2=4 (soit sin(i1)/sin(i2)=4, comme dans ton exemple - indice de réfraction très élevé, mais ça pourrait être du Ge par exe:mple), R=1, je trouve k=-0.0625

[zyket]

Merci beaucoup,

Je n'avais pas réalisé que la courbe devait dépendre du rapport sin(i1)/sin(i2) !

je vais tenter une construction géométrique avec ces données.

A +

[zyket]

Ça marche !! merci

Avec un rapport sin(i1)/sin(i2)=4 ; R=1 et K=-0.0625, j'obtiens la construction ci-dessous en pièce jointe. En déplaçant le point A sur la courbe rouge, le point F est fixe. C'est ce que je cherchais.